有效集法求解二次规划matlab代码

### 回答1：
有效集法是求解二次规划的一种经典算法，它主要采用了“逐步逼近”的思想。在每个迭代步骤中，先找到当前最优解对应的有效约束集合，然后在该约束集合内解决子问题，更新解，并将其扩展到更大的有效约束集合中，直至满足精度要求。

下面是一份有效集法求解二次规划的matlab代码：

function [x, fval] = quadprog_activeset(H, f, A, b, Aeq, beq)
% 使用活性集法来求解二次规划

n = size(H, 1); %变量维度
x = zeros(n, 1); %初始化
active_set = []; % 初始化活性集
I = eye(n);

while true
% 1. 更新约束函数
[A_new, b_new, Aeq_new, beq_new] = update_constraints(active_set, A, b, Aeq, beq);
% 2. 解决子问题
[dx, fval, flag] = quadprog(H, f, A_new, b_new, Aeq_new, beq_new);
if flag<0
error('二次规划求解失败');
end
% 3. 更新解和活性集
x_new = x + dx;
active_set_new = find_active_set(x_new, A_new, b_new, Aeq_new, beq_new);
if isequal(active_set, active_set_new) %当前解已是最优解
break;
end
x = x_new;
active_set = active_set_new;
end

function [A_active, b_active, Aeq_active, beq_active] = update_constraints(active_set, A, b, Aeq, beq)
% 根据活性集更新约束函数

A_active = A(active_set, :);
b_active = b(active_set);

Aeq_active = Aeq;
beq_active = beq;
% 删除重复约束
active_idx = find(sum(abs(Aeq(active_set,:)),1)>0);
if ~isempty(active_idx)% 当前活性集含有等式约束
active_eq_idx = active_idx;
Aeq_active(active_eq_idx,:) = [];
beq_active(active_eq_idx,:) = [];
A_active = [A_active; Aeq(active_idx,:)];
b_active = [b_active; beq(active_idx,:)];
end

function active_set = find_active_set(x, A, b, Aeq, beq)
% 通过当前解找到活性集

m = size(A, 1) + size(Aeq, 1);
active_set = false(m, 1);
% 找出不等式约束的活性集
active_idx = find(abs(A*x-b)<1e-6);
active_set(active_idx) = true;
% 找出等式约束的活性集
active_idx = find(abs(Aeq*x-beq)<1e-6);
active_set(size(A, 1) + active_idx) = true;

上述代码通过while循环迭代求解，其中主要分为三步。第一步是根据当前活性集更新约束函数；第二步是求解子问题，即在当前活性集内求解二次规划；第三步是更新解和活性集，直到当前解已是最优解。在此过程中，find_active_set函数找到当前解对应的活性集，update_constraints函数更新约束函数。

### 回答2：
有效集法（Active Set Method）是求解二次规划问题的一种常见方法，可以在保证局部最优的前提下，快速地求解全局最优解。MATLAB提供了优化工具箱，其中包括了求解二次规划的优化函数quadprog，可以方便地实现有效集法求解。

在MATLAB中使用quadprog函数求解二次规划问题，需要明确目标函数的形式和约束条件。例如，假设目标函数为：

min f(x)=0.5*x'*H*x+c'*x

其中，H为二次项系数矩阵，c为一次项系数向量。同时，假设约束条件包括线性不等式约束和线性等式约束：

Ax<=b

Aeq*x=beq

其中，A和Aeq分别为不等式和等式矩阵，b和beq分别为不等式和等式约束向量。可以在MATLAB中通过输入以上参数，调用quadprog函数求解问题：

[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

其中，x为最优解向量，fval为最优解值，exitflag为退出标记，output为优化输出信息结构体，lambda为拉格朗日乘子向量，lb和ub分别为变量下界和上界向量，x0为初始值向量，options为优化选项结构体。

在有效集法中，首先需要将所有的约束条件转化为等式约束和不等式约束。然后，通过线性代数的方法求解当前最优解。如有约束条件不满足，就通过增加或删除约束来更新可行点集，重复以上步骤，直到达到全局最优解。

有效集法是求解一般二次规划问题的一种比较有效的方法，在实际应用中可以灵活使用。使用MATLAB中的quadprog函数可以方便地实现有效集法求解二次规划问题，提高问题求解的效率和精度。

### 回答3：
二次规划是一类优化问题，通过最小化一个二次函数来求解。有效集法是一种经典的求解二次规划的方法，它将问题转化为一系列线性规划问题来求解。以下是一个用MATLAB实现有效集法求解二次规划的简单代码。

function [x, fval] = QuadraticProgramming(H, f, A, b, lb, ub)

% H: 二次项系数矩阵，f: 一次项系数向量， A: 约束矩阵，b: 约束右侧向量， lb: 下界向量，ub: 上界向量

x0 = lb; % 初始化x0为下界向量
X = []; % 定义一个空的解集

% 主循环
while true
% 计算梯度g和Hessian矩阵B
g = H * x0 + f;
B = H;

% 计算可行的下降方向d
[d, fval, exitflag] = linprog(g, [], [], A, b, lb, ub);
d = -d;

% 判断是否已到达最小值
if norm(d) == 0 || exitflag == -2
break;
end

% 更新解集X，下一次迭代的起点x0，以及Hessian矩阵B
X = [X, x0];
x0 = x0 + d;
s = A * x0 - b;
lambda = max(0, -s); % 计算拉格朗日乘子
H = H + A' * diag(lambda) * A;
end

% 返回最优解x和目标函数值fval
x = x0;
fval = 0.5 * x' * H * x + f' * x;
end

以上代码通过不断线性规划求解可行的下降方向，并更新解集X来逼近最优解，最终返回最优解x和目标函数值fval。在实际应用中，还需要考虑一些特殊情况，例如无界或无解等。