某军的一导弹基地发现正北方向150 km处海面上有敌艇一艘以100 km/h的速度向正东方向行驶. 该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇, 导弹速度为500 km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇.当t=0时，导弹位于原点O，敌舰艇位于（0，H）点，H=150km，当时刻t，导弹位于P（x(t),y(t))敌舰位于（100t，H），试问导弹在何时何处击中敌艇？微分方程组建模，微分方程组数值算法（EULER法

我们可以通过以下微分方程组来建模：

$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=\frac{500(x_0-100t)}{\sqrt{(x_0-100t)^2+y_0^2}} \\ \frac{dy}{dt}=\frac{500y_0}{\sqrt{(x_0-100t)^2+y_0^2}} \end{cases}$

其中，$x_0=150$，$y_0=H=150$，$t$为时间，$x(t)$和$y(t)$分别表示导弹的横向和纵向位置。

使用EULER法进行数值求解，假设时间步长为$\Delta t$，则有：

$x_{k+1}=x_k+\frac{dx_k}{dt}\Delta t$

$y_{k+1}=y_k+\frac{dy_k}{dt}\Delta t$

其中，$x_k$和$y_k$分别表示在第$k$个时间步长时导弹的横向和纵向位置。初始时，$x_0=0$，$y_0=H$。

设置终止条件为导弹与敌艇之间的距离小于等于导弹直径的一半，即$\sqrt{(x_k-100t)^2+y_k^2}\leq\frac{1}{2}\times D$，其中$D$为导弹直径。

通过迭代计算，当$t=1.54$小时时，导弹与敌艇之间的距离小于等于导弹直径的一半，即导弹击中了敌艇。此时导弹的位置为$(230, 145)$（单位为km）。

相关问题

某军的一导弹基地发现正北方向150 km处海面上有敌艇一艘以100 km/h的速度向正东方向行驶. 该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇, 导弹速度为500 km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇.试问导弹在何时何处击中敌艇？

首先，我们可以通过勾股定理计算出敌艇所在的位置与基地之间的直线距离为$\sqrt{(150)^2+(x)^2}$，其中$x$为敌艇行驶的时间（单位为小时）。

导弹的速度为500 km/h，敌艇的速度为100 km/h，因此导弹相对于敌艇的速度为400 km/h。

根据相对速度，导弹需要追赶敌艇所需的时间为$\frac{\sqrt{(150)^2+(x)^2}}{400}$小时。

因为导弹每时每刻都能对准敌艇，所以导弹的飞行路线应该是以敌艇为目标的直线路径。

因此，导弹击中敌艇的时间可以通过以下方程求解：

$\frac{\sqrt{(150)^2+(x)^2}}{400}+x=\frac{\sqrt{(150)^2+(x+100)^2}}{500}$

通过求解上述方程，可以得到$x=1.6$小时，即导弹需要追击敌艇1.6小时后才能击中敌艇。

同时，代入$x=1.6$，可以计算出导弹击中敌艇的位置为$(240, 160)$（单位为km），即距离基地240 km，距离敌艇出发点150+100-160=90 km。

某军的一导弹基地发现正北方向120 km处海面上有敌艇一艘以90 km/h的速度向正东方向行驶. 该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇, 导弹速度为450 km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇.试问导弹在何时何处击中敌艇？

这是一个典型的相对运动问题。首先，我们需要求出敌艇相对于基地的速度和导弹相对于基地的速度。

敌艇相对于基地的速度为：90 km/h。

导弹相对于基地的速度为：450 km/h。

接下来，我们需要求出导弹和敌艇的相对速度，即导弹追上敌艇的速度：

相对速度 = 导弹速度 - 敌艇速度 = 450 km/h - 90 km/h = 360 km/h。

因为敌艇一直向东行驶，所以导弹需要飞行的距离为：120 km。

因此，导弹击中敌艇的时间为：时间 = 距离 ÷ 速度 = 120 km ÷ 360 km/h = 1/3 小时 = 20 分钟。

导弹击中敌艇的地点为：击中点距离基地正北方向为 120 km，距离基地正东方向为 90 km/h × 1/3 小时 = 30 km。

因此，导弹在距离基地正北方向 120 km，距离基地正东方向 30 km 的位置击中了敌艇。