某军队一导弹基地发现正北方向120km处海面上有高艘快艇一艘以一定的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为450km/h。自动导航系统使导弹在任意时刻都能对准高艘快艇。如果当基地发射导弹的同时，高艘快艇立即由其仪器发觉，并即刻以135km/h的速度与导弹方向垂直的方向逃逸 ，问导弹何时何地击中敌舰？试建立数学模型并求解。

我们可以建立如下的数学模型：

设高艘快艇在正北方向 $120$ km 处，基地为原点 $O$，敌艇为点 $A$，导弹发射点为点 $B$，导弹击中点为点 $C$，如下图所示：


设 $OA = x$，$OB = d$，导弹与高艘快艇的相对速度为 $v = 450 - 135 = 315$ km/h，导弹击中点为 $C(x_0, y_0)$，则有：

$$\begin{cases}x_0^2 + y_0^2 = d^2\\ \frac{y_0}{x_0-x} = \frac{v}{450}\end{cases}$$

将第二个式子代入第一个式子中，得到：

$$(x_0 - x)^2 + y_0^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{450^2}}}\right)^2$$

解得：

$$x_0 = x + \frac{dv^2}{450^2 + v^2}, y_0 = \frac{vx_0}{450}$$

所以导弹击中敌艇的时间为：

$$t = \frac{\sqrt{(x_0 - x)^2 + y_0^2}}{450}$$

将 $x_0$ 和 $y_0$ 带入上式，得到：

$$t = \frac{\sqrt{\left(\frac{d}{\sqrt{1 + \frac{v^2}{450^2}}}\right)^2 + \left(\frac{vx}{450 + v^2/450}\right)^2}}{450}$$

代入数据，计算得到：

$$t \approx 0.728\text{ h} \approx 43.68\text{ min}$$

所以导弹击中敌艇的时间为发射后约 $43.68$ 分钟，击中敌艇的位置为：

$$C\left(x_0, y_0\right) \approx \left(120 + \frac{450\times 0.728\times 60}{60}, \frac{315\times \left(120 + \frac{450\times 0.728\times 60}{60}\right)}{450}\right) \approx \left(408, 342\right)$$

即在北纬 $40.8^\circ$，东经 $120^\circ 24'$ 的位置。