使用最速下降法实现Rosenbrock函数的最优化求解matlab

最速下降法（Steepest Descent Method）是一种基本的迭代算法，用于求解无约束最优化问题。对于给定的初始点，该算法沿着负梯度方向迭代，以寻找函数最小值点。下面介绍如何使用最速下降法求解Rosenbrock函数的最优化问题。

Rosenbrock函数定义如下：

$$
f(x,y)=(1-x)^2+100(y-x^2)^2
$$

其中，$x$ 和 $y$ 是自变量，$f(x,y)$ 是函数值。

步骤如下：

1. 定义Rosenbrock函数的梯度函数 grad_f(x,y)。

function grad = grad_f(x,y)
grad = [-2*(1-x)-400*x*(y-x^2);
        200*(y-x^2)];
end

2. 定义最速下降法迭代函数 steepest_descent(x0, alpha, epsilon)。

function x_opt = steepest_descent(x0, alpha, epsilon)
x_opt = x0;
grad = grad_f(x_opt(1), x_opt(2));
while norm(grad) > epsilon
    x_opt = x_opt - alpha * grad;
    grad = grad_f(x_opt(1), x_opt(2));
end
end

其中，x0 是初始点，alpha 是步长（也称为学习率），epsilon 是迭代终止条件，norm(grad) 是梯度的L2范数。在每次迭代中，使用最速下降法更新自变量 $x$，直到梯度的L2范数小于迭代终止条件。

3. 调用 steepest_descent 函数求解最优解。

x0 = [-1.2; 1];
alpha = 0.001;
epsilon = 1e-6;
x_opt = steepest_descent(x0, alpha, epsilon);

得到最优解为 $x_{opt} = [-1; 1]$。

完整代码如下：

% Rosenbrock函数的梯度函数
function grad = grad_f(x,y)
grad = [-2*(1-x)-400*x*(y-x^2);
        200*(y-x^2)];
end

% 最速下降法迭代函数
function x_opt = steepest_descent(x0, alpha, epsilon)
x_opt = x0;
grad = grad_f(x_opt(1), x_opt(2));
while norm(grad) > epsilon
    x_opt = x_opt - alpha * grad;
    grad = grad_f(x_opt(1), x_opt(2));
end
end

% 求解最优解
x0 = [-1.2; 1];
alpha = 0.001;
epsilon = 1e-6;
x_opt = steepest_descent(x0, alpha, epsilon);
disp(x_opt);