Python实现最速下降法：梯度下降与Goldstein线性搜索

本文主要介绍了如何使用Python实现最速下降法，即梯度下降法，来寻找多元函数的极小值。最速下降法的基本思想是沿着函数梯度的负方向进行迭代，以期望最快地下降到函数的局部极小值。在实际应用中，搜索步长（αk）的选择至关重要，通常会采用线性搜索技术，如Goldstein不精确线性搜索和Wolfe法线性搜索。 文章提供了一个Python函数`goldsteinsearch`，用于执行Goldstein线性搜索。这个函数接受目标函数f、其导数df、当前迭代点x、当前搜索方向d以及若干控制参数，返回满足Goldstein准则的搜索步长。Goldstein准则要求新函数值的减少既不能太大也不能太小，以确保沿着下降方向有效移动。 在提供的代码示例中，还展示了如何定义Rosenbrock函数及其梯度，这是一个常用来测试优化算法性能的函数。Rosenbrock函数形式为f(x) = 100 * (x[2] - x[1]^2)^2 + (1 - x[1])^2，其梯度为g(x) = (-400 * (x[2] - x[1]^2) * x[1] - 2 * (1 - x[1]), 200 * (x[2] - x[1]^2))^T。 为了实现最速下降法，可以使用以下步骤： 1. 初始化：设置初始点x0，选择搜索方向d（通常为梯度的负方向），并设定搜索步长α。 2. 迭代：在每次迭代中，计算新的函数值f(x0 + α * d)，然后使用Goldstein搜索确定新的搜索步长α。 3. 判断终止条件：如果满足预设的终止条件（如达到最大迭代次数、函数值变化足够小等），则停止迭代；否则，更新迭代点x0 = x0 + α * d，返回步骤2。 通过这个过程，可以不断逼近Rosenbrock函数或其他多元函数的极小值。Python的简洁性和丰富的科学计算库使其成为实现这类算法的理想选择。 在实际应用中，还需要注意以下几点： - 搜索步长的选择会影响算法的收敛速度和稳定性，因此线性搜索策略的选取很重要。 - 梯度下降法可能陷入局部极小值，而非全局极小值，尤其是当函数具有多个局部极小值时。 - 可以通过随机初始化或采用其他优化策略（如随机梯度下降、动量梯度下降等）来改善全局收敛性。 Python的灵活性和强大的科学计算支持使得我们可以轻松实现和调试最速下降法这样的优化算法，这对于解决实际问题中的函数极值求解非常有用。