推导平面坐标系相似变换模型

平面坐标系相似变换模型可以用矩阵表示。假设有一个点 $P=(x,y)$，进行相似变换后得到的点 $P'=(x',y')$，则有：

$$
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
s\cos\theta & -s\sin\theta & tx \\
s\sin\theta & s\cos\theta & ty \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
$$

其中，$s$ 为缩放比例因子，$\theta$ 为旋转角度，$(tx, ty)$ 为平移向量。

这个矩阵可以拆分成三个部分，即缩放矩阵 $S$、旋转矩阵 $R$ 和平移矩阵 $T$ 的乘积形式：

$$
\begin{bmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{bmatrix}
=
SRT
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
$$

其中，

$$
S =
\begin{bmatrix}
s & 0 & 0 \\
0 & s & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
,\quad
R =
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
,\quad
T =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & tx \\
0 & 1 & ty \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

这样，我们就可以用 $SRT$ 矩阵来表示平面坐标系相似变换模型。