在MATLAB中计算给定两点间给定长度的悬链线形状

在 MATLAB 中，可以通过悬链线的数学模型 $y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)+b$ 来计算给定两点间给定长度的悬链线形状。其中，$a$ 表示悬链线的挂点到顶点的距离，$b$ 表示悬链线的纵向偏移量。

假设给定两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，以及悬链线的长度 $L$，我们可以先根据两点的坐标计算出悬链线的纵向偏移量 $b$：

b = (y1 + y2) / 2;

然后，可以使用二分法来计算悬链线的挂点到顶点的距离 $a$。具体来说，我们可以使用一个 while 循环，在每次循环中计算当前的 $a$ 值所对应的悬链线长度 $L_{current}$，并根据 $L_{current}$ 和 $L$ 的大小关系来更新 $a$ 的值，直到 $L_{current}$ 与 $L$ 的误差小于一个预设的阈值。具体实现代码如下：

% 给定的两点坐标
x1 = 0;
y1 = 0;
x2 = 5;
y2 = 10;

% 给定的悬链线长度
L = 8;

% 初始的挂点到顶点的距离
a = 1;

% 误差阈值
tolerance = 1e-6;

% 计算悬链线的纵向偏移量
b = (y1 + y2) / 2;

% 二分法计算挂点到顶点的距离
while true
    % 当前挂点到顶点的距离所对应的悬链线长度
    L_current = a * sinh((x2-x1) / (2*a)) + a * sinh((x1-x2) / (2*a));
    
    % 计算误差
    error = L_current - L;
    
    % 如果误差小于阈值，则退出循环
    if abs(error) < tolerance
        break;
    end
    
    % 根据误差更新挂点到顶点的距离
    a = a - error / (cosh((x2-x1) / (2*a)) - cosh((x1-x2) / (2*a)));
end

% 计算悬链线上各点的坐标
x = linspace(x1, x2, 1000);
y = a * cosh((x-x1) / a) + b;

% 绘制悬链线
plot(x, y);

在上面的代码中，我们使用 `sinh` 和 `cosh` 函数分别计算悬链线的长度和斜率，并根据悬链线长度与给定长度的误差来更新挂点到顶点的距离。最后，使用 `linspace` 函数生成一些悬链线上的点，并利用悬链线的数学模型计算出这些点的纵坐标，然后使用 `plot` 函数绘制悬链线。执行上述代码，即可得到给定两点间给定长度的悬链线形状。