利用FIR滤波器通过FRR方式实现的零相位滤波器

FIR滤波器是一种常用的数字滤波器，可以实现数字信号的滤波处理。FIR滤波器可以通过FRR（Finite Response Filter, 有限冲激响应滤波器）方式实现零相位滤波器。

FRR方式的FIR滤波器可以看作是将一个线性相位的FIR滤波器和一个时延为N/2的反向FIR滤波器级联而成。其中，N为滤波器的阶数。

具体实现步骤如下：

1. 设计一个线性相位的FIR滤波器，截止频率为fc，滤波器的阶数为N。可以使用MATLAB中的fir1函数进行设计。

fs = 1000;   % 采样频率
fc = 200;   % 截止频率
N = 100;   % 滤波器阶数
b = fir1(N, fc/(fs/2));   % FIR低通滤波器系数

2. 将滤波器系数进行FRR处理，得到一个零相位的FIR滤波器。

b_frr = [b(N/2+1:end), zeros(1, N/2), fliplr(b(1:N/2))];   % FRR处理

3. 将信号分别进行正向和反向滤波处理，并将结果相加。

y1 = filter(b_frr, 1, x);   % 正向滤波
y2 = flipud(filter(b_frr, 1, flipud(x)));   % 反向滤波
y = (y1 + y2)/2;   % 相加平均

完整代码如下：

fs = 1000;   % 采样频率
t = 0:1/fs:1-1/fs;   % 时间向量
f1 = 500;   % 信号频率
f2 = 50;   % 噪声频率
x = sin(2*pi*f1*t) + sin(2*pi*f2*t);   % 带噪声的信号

fc = 200;   % 截止频率
N = 100;   % 滤波器阶数
b = fir1(N, fc/(fs/2));   % FIR低通滤波器系数

b_frr = [b(N/2+1:end), zeros(1, N/2), fliplr(b(1:N/2))];   % FRR处理

y1 = filter(b_frr, 1, x);   % 正向滤波
y2 = flipud(filter(b_frr, 1, flipud(x)));   % 反向滤波
y = (y1 + y2)/2;   % 相加平均

plot(t, x, t, y);
legend('原始信号', '零相位滤波');

可以看到，通过FRR方式实现的零相位FIR滤波器可以有效地消除信号的相位延迟。