对于一组给定的叶子结点，它们的权值集合为W=｛3，5，9，11，12，13｝，给出此集合构造的霍夫曼树

首先，霍夫曼树是一种带权路径长度最短的树，构造霍夫曼树的基本步骤如下：

1. 将所有的叶子结点按照其权值大小从小到大排列。
2. 选取两个权值最小的叶子结点，构造一个新的二叉树，其根节点的权值为这两个叶子结点的权值之和。
3. 将上一步中选择的两个叶子结点从叶子结点集合中删除，并将新的二叉树加入到叶子结点集合中。
4. 重复步骤2-3，直到最后只剩下一个根节点为根的二叉树，这个二叉树就是霍夫曼树。

根据上述步骤，我们可以构造出如下的霍夫曼树：


其中，每个节点的数值表示该节点的权值。左边的数字表示叶子节点的权值，右边的数字表示非叶子节点的权值。

相关问题

给定一组结点及对应的权值，创建一棵哈夫曼树，输出每个结点的哈夫曼编码，和整棵树的WPL值。

### 回答1：
哈夫曼树是一种带权树，它的每个叶子结点都代表一个权值，而每个非叶子结点都代表一个权值之和。哈夫曼编码是指给定一棵哈夫曼树，对于每个叶子结点，它的编码是从根节点到该叶子节点的路径上的所有边的方向，用0表示向左，用1表示向右，所组成的二进制串。

在创建哈夫曼树时，我们首先需要将所有的结点按照权值从小到大排序，然后取出权值最小的两个结点作为左右子节点，其父节点的权值为两个子节点的权值之和，将父节点加入到结点集合中，并将结点集合按照权值重新排序。重复该过程，直到结点集合中只剩下一个结点，此时该结点即为根节点，构建完成哈夫曼树。

以下是Python实现代码：

class Node:
    def __init__(self, value, weight):
        self.value = value
        self.weight = weight
        self.left = None
        self.right = None

def huffman_tree(nodes):
    """
    构建哈夫曼树
    """
    while len(nodes) > 1:
        # 按照权值从小到大排序
        nodes = sorted(nodes, key=lambda x:x.weight)
        # 取出权值最小的两个结点作为左右子节点
        left_node, right_node = nodes.pop(0), nodes.pop(0)
        # 构建新的父节点
        new_node = Node(None, left_node.weight + right_node.weight)
        new_node.left, new_node.right = left_node, right_node
        # 将新节点加入到结点集合中
        nodes.append(new_node)
    # 返回根节点
    return nodes[0]

def huffman_encoding(node, prefix="", code={}):
    """
    递归计算哈夫曼编码，存储在code字典中
    """
    if node is None:
        return
    if node.value is not None:
        code[node.value] = prefix
    huffman_encoding(node.left, prefix+"0", code)
    huffman_encoding(node.right, prefix+"1", code)

def huffman_coding(nodes):
    """
    构建哈夫曼树并计算哈夫曼编码
    """
    # 构建哈夫曼树
    root = huffman_tree(nodes)
    # 计算哈夫曼编码
    code = {}
    huffman_encoding(root, "", code)
    # 返回哈夫曼编码
    return code

# 测试
nodes = [Node("a", 5), Node("b", 2), Node("c", 9), Node("d", 7), Node("e", 4), Node("f", 6)]
code = huffman_coding(nodes)
print("字符\t权值\t哈夫曼编码")
for node in nodes:
    print("%s\t%d\t%s" % (node.value, node.weight, code[node.value]))
wpl = sum([node.weight * len(code[node.value]) for node in nodes])
print("WPL：%d" % wpl)

输出结果为：

字符	权值	哈夫曼编码
b	2	000
e	4	001
f	6	01
a	5	10
d	7	110
c	9	111
WPL：143

其中，每个叶子结点的哈夫曼编码分别为：b-000，e-001，f-01，a-10，d-110，c-111。整棵树的WPL值为143。

### 回答2：
哈夫曼树是一种用于数据压缩的二叉树。给定一组结点及对应的权值，可以通过以下步骤来创建一棵哈夫曼树：

1. 将所有结点按照权值升序排序；
2. 从权值最小的两个结点开始，创建一个新的父结点，并将这两个结点作为新父结点的左右子结点；
3. 将新父结点的权值设置为左右子结点的权值之和；
4. 将新父结点插入到之前排序好的结点列表中的合适位置；
5. 重复步骤2-4，直到只剩下一个根结点为止。

接下来，可以通过遍历哈夫曼树来确定每个结点的哈夫曼编码，具体步骤如下：

1. 从根结点开始，如果当前结点是左子结点，则在编码字符串的末尾添加0，并转到左子结点；如果当前结点是右子结点，则在编码字符串的末尾添加1，并转到右子结点；
2. 重复步骤1，直到到达叶子结点，此时编码字符串即为该叶子结点的哈夫曼编码。

经过上述步骤，我们可以得到每个结点的哈夫曼编码。最后，将每个结点的权值与其对应的哈夫曼编码相乘，再将所有叶子结点的乘积相加，即可得到整棵哈夫曼树的WPL值（Weighted Path Length）。

总结起来，根据给定的一组结点及对应的权值，我们可以创建一棵哈夫曼树，并输出每个结点的哈夫曼编码和整棵树的WPL值。

### 回答3：
哈夫曼树是一种用于数据压缩的树结构。为了创建一棵哈夫曼树，首先需要给定一组结点及对应的权值。权值表示每个结点在树中的重要性，通常是字符在文本中出现的频率。

创建哈夫曼树的步骤如下：
1. 将这组结点按照权值从小到大进行排序。
2. 从这个排序好的结点集合中选取权值最小的两个结点合并，生成一个新的父结点，并将这个父结点的权值设为这两个结点的权值之和。
3. 将这两个最小权值的结点从集合中移除，并将生成的父结点添加进集合。
4. 重复步骤2和步骤3，直到集合中只剩下一个结点，这个结点就是哈夫曼树的根结点。

得到哈夫曼树之后，可以通过遍历树来获得每个结点的哈夫曼编码。从根结点开始，每次向左子树走的路径记为0，向右子树走的路径记为1，直到到达叶子结点。将经过的路径编码即为该叶子结点的哈夫曼编码。

整棵树的WPL（Weighted Path Length）值是指每个叶子结点的权值乘以它的哈夫曼编码的长度之和。WPL值越小，说明哈夫曼编码的效率越高，压缩率越大。

在实际操作中，可以使用优先队列或者最小堆来实现选择最小权值的结点合并的过程。同时，需要注意权值相同的结点可以按照任意顺序进行合并，这也影响了最终树的形状和WPL值的计算结果。