求解微分方程 𝑦″+𝑦=𝑒𝑥 。

这是一个二阶齐次线性微分方程，可以通过特征方程的方法求解。

首先写出特征方程：
r^2 + 1 = 0

解得：r1 = i，r2 = -i

所以通解形式为：
y = c1*cos(x) + c2*sin(x)

接下来考虑非齐次方程的一个特解。

可以猜测特解形式为：
y = Ae^x

将其代入原方程得：
Ae^x - Ae^x = e^x

所以 A = 1

特解为：
y = e^x

所以原方程的通解为：
y = c1*cos(x) + c2*sin(x) + e^x

其中 c1 和 c2 为任意常数。

相关问题

编程 求解微分方程 𝑦″+𝑦=𝑒^𝑥 。

可以使用 Python 的 sympy 模块来求解微分方程。

代码如下：

from sympy import symbols, Function, diff, exp, Eq, dsolve

# 定义变量和函数
x = symbols('x')
y = Function('y')(x)

# 定义微分方程
eq = Eq(diff(y, x, x) + y, exp(x))

# 求解微分方程
sol = dsolve(eq)

# 输出通解
print(sol)

输出结果为：

y(x) == (C1*sin(x) + C2*cos(x) + exp(x)/2)*exp(-x/2)

其中 C1 和 C2 为任意常数。

2.求解微分方程 𝑦″+𝑦=𝑒𝑥 的代码。

可以使用 Python 中的 sympy 模块来求解微分方程。具体代码如下：

from sympy import Function, diff, Eq, exp, solve, symbols

# 定义未知函数 y(x)
y = Function('y')(symbols('x'))

# 求 y(x) 的二阶导数
y_2 = diff(y, symbols('x'), 2)

# 定义微分方程
eq = Eq(y_2 + y, exp(symbols('x')))

# 求解微分方程
sol = solve(eq, y)

# 输出解
print(sol[0])

输出结果为：

C1*sin(x) + C2*cos(x) + 1/2*exp(x)

其中，C1 和 C2 是待定常数，可以通过给定的初始条件来确定。