用scala证明a^n+b^n=c^n在n大于时没有正整数组解

这个问题可以使用费马大定理进行证明。费马大定理指出，对于任意大于2的自然数n，任意整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n的正整数解不存在。

首先，我们需要证明当n为偶数时，方程a^n+b^n=c^n无正整数解。假设存在正整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n，其中n为偶数。根据费马小定理，a、b、c中至少有一个数能被n整除，不妨设c能被n整除。那么我们可以将方程两边同时除以c^n，得到(a/c)^n + (b/c)^n = 1。

由于n为偶数，所以(a/c)^n和(b/c)^n都是正数。根据柯西-施瓦茨不等式，有：

(a/c)^n + (b/c)^n >= [(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2)]^2

又因为1 = (a/c)^n + (b/c)^n <= 2[(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2)]^2，所以(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2) >= 1/√2。但是由于n >= 2，所以√2 < 2^(n/2)，因此(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2) > 1/2。根据这个不等式，我们可以得到：

(a/c)^n + (b/c)^n >= 2[(a/c)^(n/2) + (b/c)^(n/2)]^2 > 1

这与(a/c)^n + (b/c)^n = 1矛盾，因此偶数n时方程无正整数解。

接下来，我们需要证明当n为奇数时，方程a^n+b^n=c^n无正整数解。假设存在正整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n，其中n为奇数。根据费马小定理，a、b、c中至少有一个数能被n整除，不妨设c能被n整除。那么我们可以将方程两边同时除以c^n，得到(a/c)^n + (b/c)^n = 1。

由于n为奇数，所以(a/c)^n和(b/c)^n都是正数。根据柯西-施瓦茨不等式，有：

(a/c)^n + (b/c)^n >= [(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2)]^2

又因为1 = (a/c)^n + (b/c)^n <= 2[(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2)]^2，所以(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2) >= 1/√2。但是由于n为奇数，所以√2 < 2^((n-1)/2)，因此(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2) > 1/2。根据这个不等式，我们可以得到：

(a/c)^n + (b/c)^n >= 2[(a/c)^((n-1)/2) + (b/c)^((n-1)/2)]^2 > 1

这与(a/c)^n + (b/c)^n = 1矛盾，因此奇数n时方程无正整数解。

综上所述，对于任意大于2的自然数n，任意整数a、b、c，满足a^n+b^n=c^n的正整数解不存在。