有序对的交换性如何严格的证明
时间: 2024-03-04 11:53:32 浏览: 78
有序对的交换性指的是对于任意的元素 $a$ 和 $b$,有 $(a,b)=(b,a)$。这个性质可以通过有序对的定义来证明。
根据有序对的定义,$(a,b)$ 和 $(b,a)$ 都是包含两个元素的集合,且它们的第一个元素和第二个元素分别是 $a$ 和 $b$,或者是 $b$ 和 $a$。因此,我们只需要证明它们是相等的集合即可。
由于两个集合相等当且仅当它们拥有相同的元素,因此我们只需要证明 $(a,b)$ 和 $(b,a)$ 拥有相同的元素。具体来说,我们需要证明:
- $(a,b)$ 中包含的元素 $(a,b)_1$ 和 $(a,b)_2$ 在 $(b,a)$ 中都存在;
- $(b,a)$ 中包含的元素 $(b,a)_1$ 和 $(b,a)_2$ 在 $(a,b)$ 中都存在。
对于第一个条件,根据有序对的定义,$(a,b)_1$ 是 $a$,$(a,b)_2$ 是 $b$,因此它们在 $(b,a)$ 中的顺序变成了 $(b,a)_1$ 是 $b$,$(b,a)_2$ 是 $a$,但是它们的元素并没有变化。因此,$(a,b)_1$ 和 $(a,b)_2$ 在 $(b,a)$ 中都存在。
对于第二个条件,同样根据有序对的定义,$(b,a)_1$ 是 $b$,$(b,a)_2$ 是 $a$,因此它们在 $(a,b)$ 中的顺序变成了 $(a,b)_1$ 是 $a$,$(a,b)_2$ 是 $b$,但是它们的元素也没有变化。因此,$(b,a)_1$ 和 $(b,a)_2$ 在 $(a,b)$ 中都存在。
由此可见,$(a,b)$ 和 $(b,a)$ 拥有相同的元素,因此它们是相等的集合。因此,有序对的交换性得到了严格的证明。
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