证明命题1：数域P上的n维线性空间V与n元有序数组做成的向量空间p同构。

证明：

首先，我们需要明确一下什么是数域P上的n维线性空间V和n元有序数组做成的向量空间p。

数域P上的n维线性空间V是指一个具有以下性质的集合：

1. 集合V中的元素称为向量。

2. 在V中定义了加法和数乘运算，即对于任意的u, v∈V和k∈P，满足以下性质：

(a) 加法运算：u+v∈V，且满足交换律、结合律、存在零向量0∈V，使得u+0=u，以及每个向量u∈V都有一个相反向量-v∈V，使得u+(-v)=0。

(b) 数乘运算：k·u∈V，且满足结合律、分配律和对数乘1的保持不变性，即1·u=u。

3. 满足线性组合性质，即对于任意的v1, v2, …, vk∈V和k1, k2, …, kk∈P，有以下等式成立：k1v1+k2v2+…+kkvk∈V。

n元有序数组做成的向量空间p是指一个集合，其中的元素是由n个有序数组成的向量，即p={(a1,a2,…,an)|ai∈P}，并且定义了向量的加法和数乘运算：

1. 向量的加法：(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn)=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn)。

2. 向量的数乘：k(a1,a2,…,an)=(ka1,ka2,…,kan)。

现在我们来证明V和p是同构的，即存在一个双射f:V→p，使得对于任意的u, v∈V和k∈P，有以下等式成立：

1. f(u+v)=f(u)+f(v)

2. f(k·u)=k·f(u)

3. f是双射

首先，我们定义一个线性变换f:V→p，使得f(u)=(u1,u2,…,un)，其中u=(u1,u2,…,un)∈V。

我们可以证明f是线性变换，即对于任意的u, v∈V和k∈P，有以下等式成立：

1. f(u+v)=(u1+v1,u2+v2,…,un+vn)=f(u)+f(v)

2. f(k·u)=(k·u1,k·u2,…,k·un)=k·f(u)

因此，f是一个线性变换。

接下来，我们证明f是双射。

首先，我们证明f是单射，即对于任意的u, v∈V，如果f(u)=f(v)，那么u=v。

假设f(u)=f(v)，即(u1,u2,…,un)=(v1,v2,…,vn)，那么对于任意的i∈{1,2,…,n}，有ui=vi。

由于u和v都是数域P上的n维线性空间V中的向量，因此它们必须满足相同的线性组合性质，即对于任意的k1, k2, …, kn∈P，有k1u1+k2u2+…+knun=k1v1+k2v2+…+knvn。

由于ui=vi，因此上述等式可以写成k1u1+k2u2+…+knun=k1u1+k2u2+…+knun，即u=v。

因此，f是单射。

接下来，我们证明f是满射，即对于任意的(a1,a2,…,an)∈p，存在一个向量u∈V，使得f(u)=(a1,a2,…,an)。

假设(a1,a2,…,an)∈p，那么我们可以定义一个向量u=(u1,u2,…,un)∈V，其中ui=ai。

由于f(u)=(u1,u2,…,un)=(a1,a2,…,an)，因此f是满射。

因此，f是单射和满射，即f是一个双射。

综上所述，V和p是同构的，即存在一个双射f:V→p，使得对于任意的u, v∈V和k∈P，有以下等式成立：

1. f(u+v)=f(u)+f(v)

2. f(k·u)=k·f(u)

3. f是双射

证毕。