线性空间与数据挖掘:向量、变换与应用
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更新于2024-07-07
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"数据挖掘化功大法(11)——线性空间"
线性空间,又称向量空间,是线性代数中的基础概念,它将几何中的向量概念抽象化并与域(如实数域或复数域)相结合。在解析几何中,向量的引入简化了对几何问题的处理,而线性空间的概念则进一步深化了这种抽象。实系数多项式集合以及单变元实函数集合都可以构建成向量空间,分别在代数和泛函分析中有着重要的应用。
向量空间的定义包括两个基本运算:向量加法和标量乘法。向量加法具有结合律、交换律以及存在零向量和加法逆元的特性。标量乘法则遵循分配律、一致性和单位元的规则。在一些定义中,还要求向量空间对于向量加法和标量乘法是封闭的,即所有加法和标量乘法的结果仍在向量空间内。
基变换是线性空间中的重要概念,它涉及从一组基转换到另一组基的过程。过渡矩阵用于描述坐标的变化,同一个向量在不同基下的坐标表示可以通过这个矩阵进行转换。坐标变换是基变换的直观表现,它展示了向量在新旧基底下的坐标差异。
线性空间的子空间直和是指由一组子空间构成的集合,这些子空间两两相交且交集仅包含零向量。直和的子空间可以是正交的,这意味着它们在特定范数下互相垂直。
线性变换是保持向量加法和标量乘法不变的映射,它可以由方阵来描述。线性变换保留了直线和平行性,但可能改变长度、角度、面积和体积等几何特性。尽管如此,线性变换不会扭曲或弯曲坐标系,只会对其进行拉伸或压缩。
矩阵对向量的作用可以理解为对向量的位移的组合。任何向量都可以表示为基向量的线性组合,矩阵乘以向量的结果就是将原始向量在新的基向量下表示的形式。矩阵的每一列代表了一个基向量,而矩阵的行则对应了新基向量的坐标系数。
在数据挖掘中,线性空间和相关的概念,如向量、基变换和线性变换,被广泛应用。例如,特征向量可以看作是数据点在多维空间中的表示,通过降维技术如主成分分析(PCA)可以找到一个新的基,以减少特征维度的同时保留大部分信息。线性变换也可以用于构建分类器,如支持向量机(SVM),其中的核函数就是通过线性不可分数据的非线性映射来实现的。
线性空间及其相关理论为理解和处理复杂的数据提供了强大的工具,无论是在理论研究还是实际应用中都有着不可忽视的价值。
2023-06-10 上传
2023-02-24 上传
2023-05-30 上传
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2023-09-04 上传
2023-05-31 上传
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