python实现Newton—Raphson算法

Newton-Raphson算法，也叫牛顿迭代法，是求解方程的一种常用的数值方法。它基于泰勒级数展开，通过不断迭代逼近方程的解。

下面是Python实现Newton-Raphson算法的示例代码：

def newton_raphson(f, f_prime, x0, max_iter=100, tol=1e-6):
    """
    使用Newton-Raphson算法求解方程f(x) = 0的根。
    :param f: 方程f(x)。
    :param f_prime: f(x)的一阶导数。
    :param x0: 初始值。
    :param max_iter: 最大迭代次数。
    :param tol: 迭代精度。
    :return: 方程f(x) = 0的近似解。
    """
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        fx = f(x)
        if abs(fx) < tol:
            return x
        fpx = f_prime(x)
        if abs(fpx) < tol:
            return None
        x -= fx / fpx
    return None

这个函数接受4个参数：

- f: 方程f(x)。
- f_prime: f(x)的一阶导数。
- x0: 初始值。
- max_iter: 最大迭代次数，默认为100。
- tol: 迭代精度，默认为1e-6。

函数中的迭代公式为：

$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

迭代过程中，如果满足$|f(x_n)| < tol$，则认为已经找到了方程的解，返回$x_n$；如果满足$|f'(x_n)| < tol$，则认为迭代失败，返回None；如果超过了最大迭代次数max_iter，也认为迭代失败，返回None。

示例：

假设要求解方程$x^2 - 2 = 0$的根，可以定义如下的f和f_prime函数：

def f(x):
    return x**2 - 2

def f_prime(x):
    return 2*x

然后调用newton_raphson函数求解：

x0 = 1.5
root = newton_raphson(f, f_prime, x0)
if root is not None:
    print("方程的根为:", root)
else:
    print("迭代失败！")

输出：

方程的根为: 1.414213562373095

可以看到，找到了近似的解$x \approx 1.41421356$，与方程的真实解$\sqrt{2}$非常接近。