Customers arrive at a two-server station in accordance with a Poisson process having rate r. Upon arriving, they join a single queue. Whenever a server completes a service, the person first in line enters service. The service times of server A are exponential with rate x, and the service times of server B are exponential with rate y, where x+y>r. An arrival finding both servers free is equally likely to go to either one. Define an appropriate continuous-time Markov chain for this model and find the limiting probabilities.
时间: 2023-02-05 21:00:49 浏览: 65
好的,我们可以为这个模型定义一个连续时间马尔科夫链。我们设 $0,1,2$ 分别表示服务器 A,B,和队列中的状态。我们假设当前时刻有 $n$ 个人在队列中,那么系统的状态就是 $(i,n)$,其中 $i\in\{0,1,2\}$ 表示服务器 A,B,或者两个服务器都空闲的状态。
客户到达的速率为 $\lambda$,所以状态 $(2,n)$ 向状态 $(0,n+1)$ 和 $(1,n+1)$ 转移的速率分别为 $\frac{\lambda}{2}$。状态 $(0,n)$ 向状态 $(2,n-1)$ 转移的速率为 $x$,状态 $(1,n)$ 向状态 $(2,n-1)$ 转移的速率为 $y$。状态 $(2,0)$ 不会向其他状态转移。
我们希望求出每个状态的极限概率,也就是系统长期以来在每个状态所处的概率。设 $\pi_{i,n}$ 表示在状态 $(i,n)$ 的极限概率,根据马尔科夫链的性质,我们有如下的方程组:
$$\begin{cases} \pi_{2,n}=\frac{\lambda}{2}\pi_{0,n+1}+\frac{\lambda}{2}\pi_{1,n+1} \\ \pi_{0,n}=x\pi_{2,n-1} \\ \pi_{1,n}=y\pi_{2,n-1} \\ \sum_{i=0}^{2}\sum_{n=0}^{\infty}\pi_{i,n}=1 \end{cases}$$
相关问题
还是报错'Arrive_step' is both an index level and a column label, which is ambiguous.
这个错误通常是由于数据中存在多级索引或多个同名列标签导致的。您可以尝试使用reset_index()方法将多级索引转换为单级索引,或者使用rename()方法为同名列标签添加后缀以避免歧义。举个例子,可以使用以下代码为同名列标签添加后缀:
```
df = df.rename(columns={'Arrive_step': 'Arrive_step_col'})
```
这将把 Arrive_step 列标签重命名为 Arrive_step_col,避免与索引中的 Arrive_step 冲突。
根据以上代码出现以下报错'Pickup_Zone' is both an index level and a column label, which is ambiguous.
这个报错的原因是,代码中使用了`groupby`方法时,既指定了`Pickup_Zone`作为分组依据,又在`grouped_Travel_time`中使用了`Pickup_Zone`作为列名,这样就会导致出现歧义,从而触发报错。
要解决这个问题,可以尝试将`groupby`方法中的列名`Pickup_Zone`改成对应的索引名,即`Order_df['Pickup_Zone']`。修改后的代码如下所示:
```python
# 用于填充缺失值的均值计算函数
def fill_missing_mean(group):
mean = group.mean()
return group.fillna(mean)
# 构建多级索引
index = pd.MultiIndex.from_product([Order_df['Arrive_step'].unique(), Order_df['Pickup_Zone'].unique(), Order_df['Dropoff_Zone'].unique()], names=['Arrive_step', 'Pickup_Zone', 'Dropoff_Zone'])
# 按照多级索引分组并计算均值,然后用均值填充缺失值
grouped_Travel_time = Order_df.groupby(['Arrive_step', Order_df['Pickup_Zone'], 'Dropoff_Zone']).apply(fill_missing_mean).groupby(['Arrive_step', 'Pickup_Zone', 'Dropoff_Zone'])['Travel_time'].mean().reindex(index, fill_value=0)
```
这样修改之后,就可以解决报错了。
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