用matlab编写逐次超松弛迭代法SOR的代码

以下是一个简单的 Matlab 逐次超松弛迭代法 (SOR) 的实现：

function [x, iter] = sor(A, b, x0, omega, tol, maxiter)
% SOR (逐次超松弛法) 求解线性方程组 Ax = b
% A：系数矩阵，b：常数矩阵，x0：迭代初值，omega：松弛因子，tol：容差，maxiter：最大迭代次数
% x：方程组的解，iter：实际迭代次数

n = length(b);
x = x0;
iter = 0;

while iter < maxiter
    x_old = x;
    for i = 1:n
        sigma = 0;
        for j = 1:n
            if j ~= i
                sigma = sigma + A(i, j) * x(j);
            end
        end
        x(i) = (1 - omega) * x_old(i) + omega * (b(i) - sigma) / A(i, i);
    end
    iter = iter + 1;
    if norm(x - x_old) < tol
        break;
    end
end

end

其中，A、b、x0、omega、tol 和 maxiter 分别代表系数矩阵、常数矩阵、迭代初值、松弛因子、容差和最大迭代次数。函数返回方程组的解 x 和实际迭代次数 iter。

相关问题

matlab逐次超松驰迭代法(SOR)

逐次超松驰迭代法(Successive Over-Relaxation, SOR)是一种求解线性方程组的迭代方法，它是基于高斯-赛德尔迭代法的改进。相比于高斯-赛德尔迭代法，SOR方法引入了一个松弛因子(w)，可以加速迭代的收敛。

SOR方法的迭代公式为：

$x_i^{(k+1)}=(1-w)x_i^{(k)}+\frac{w}{a_{ii}}(b_i-\sum\limits_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum\limits_{j=i+1}^na_{ij}x_j^{(k)})$

其中，$x_i^{(k+1)}$表示第k+1次迭代后第i个未知量的解，$a_{ij}$为系数矩阵的元素，$b_i$为右端向量的第i个分量。

SOR方法的收敛条件为：系数矩阵必须是对称正定矩阵，松弛因子w的取值范围为0<w<2。

在MATLAB中，可以使用sor函数求解线性方程组，其语法为：

[x, flag, relres, iter] = sor(A, b, w, maxit, tol)

其中，A为系数矩阵，b为右端向量，w为松弛因子，maxit为最大迭代次数，tol为收敛精度。函数的输出参数x为方程组的解，flag表示是否收敛，relres为相对残差，iter为迭代次数。

逐次超松弛迭代法matlab

逐次超松弛迭代法（SOR）是一种求解线性方程组的方法，可以用MATLAB实现。下面是一个示例：

假设我们要解以下线性方程组：

Ax = b

其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是已知向量。

首先，我们需要将A分解为L、D和U三个矩阵的和，其中D是A的对角线元素组成的对角矩阵，L是A的下三角矩阵，U是A的上三角矩阵。具体地，我们可以使用MATLAB中的tril和triu函数：

L = tril(A,-1);
D = diag(diag(A));
U = triu(A,1);

然后，我们需要选择一个松弛因子w，通常选择w=1.5。接下来，我们可以使用以下代码实现SOR迭代：

x = zeros(size(b));
x_new = x;
iter = 0;
err = Inf;

while err > 1e-6 && iter < 1000
for i = 1:length(b)
x_new(i) = (1-w)*x(i) + w*(b(i) - L(i,:)*x_new - U(i,:)*x)/D(i,i);
end
err = norm(x_new - x);
x = x_new;
iter = iter + 1;
end

在每次迭代中，我们首先根据当前的x向量计算出一个新的x_new向量。具体地，我们使用矩阵L、D和U将方程组Ax=b转化为：

(D-w*L)*x_new = w*b + (w*U + (w-1)*D)*x

然后，我们使用x_new更新x向量，并计算误差err。如果误差小于某个阈值，或者迭代次数超过了一定的限制，就停止迭代。

最后，x向量中存储的就是线性方程组的解。