利用单纯形表求解 MaxZ=2X1+X2+3X3+X4 2X1+X2+2X3+2X4<=8 -X1+X2+4X3<=4 4X1-X2+2X3+2X3=8 X1,X2,X3,X4>=0

首先，将约束条件和目标函数转化为标准形式：

MaxZ = 2X1 + X2 + 3X3 + X4

subject to:

2X1 + X2 + 2X3 + 2X4 + X5 = 8
-X1 + X2 + 4X3 + X6 = 4
4X1 - X2 + 2X3 + 2X4 + X7 = 8
X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 ≥ 0

然后，构造初始单纯形表：

| | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | |
|---|----|----|----|----|----|----|----|---|
| X5| 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 8 |
| X6| -1 | 1 | 4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 4 |
| X7| 4 | -1 | 2 | 2 | 0 | 0 | 1 | 8 |
| Z | -2 | -1 | -3 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 |

其中，第一行到第三行是约束条件，第四行是目标函数，最后一列是常数列。

接下来，进行单纯形表的运算，找到最优解：

1. 选取入基变量：X2，因为 Z 行 X2 列系数为负，说明目标函数可以通过增加 X2 的值来增大。

2. 选取出基变量：X7，因为 X7 列是唯一一个可以作为出基变量的列，限制 X7 列的条件最先被违反。

3. 进行主元素行变换，使得 X7 列的主元素为 1：

| | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | |
|---|----|----|----|----|----|----|----|---|
| X5| 0 | 3/5| 8/5| 6/5| 1 | -2/5| 2/5| 6 |
| X6| 0 | 6/5| 18/5|-2/5| 0 | 1/5| -1/5| 2 |
| X2| 1 | -1/4|1/2 | 1/4| 0 | 0 | 1/4 | 2 |
| Z | 0 | 1/4 |-1/2| -1/4| 0 | 1/4| 1/4| 2 |

4. 继续进行单纯形表运算。

选取入基变量：X1，因为 Z 行 X1 列系数为负，说明目标函数可以通过增加 X1 的值来增大。

选取出基变量：X5，因为 X5 列是唯一一个可以作为出基变量的列，限制 X5 列的条件最先被违反。

进行主元素行变换，使得 X5 列的主元素为 1：

| | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | |
|---|----|----|----|----|----|----|----|---|
| X1| 1 | 4/15|4/15| 2/15| 3/5| -2/15| 4/15| 4 |
| X6| 0 | 1/5 | 3/5 |-1/5 | 0 | 1/15| -2/15| 4/3 |
| X2| 0 | 7/15|-1/15| 1/15| 1/5| -1/15| 1/15 | 8/3 |
| Z | 0 | 3/5 |-1/5 |-1/5 | 1/5| 1/5 |-1/15 | 22/3|

此时，目标函数达到最大值 22/3，对应的解为 X1=4/3，X2=8/3，X3=0，X4=0。