边长为2的四节点刚度矩阵推导
时间: 2023-06-24 15:07:08 浏览: 93
四节点边长为2的单元的刚度矩阵可以通过手工计算或使用有限元软件进行推导。以下是手工计算的步骤:
1. 确定单元节点编号和坐标
假设四个节点的编号为1、2、3、4,坐标分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)、(0,2)。
2. 计算单元刚度矩阵的局部坐标系
将单元的局部坐标系建立在节点1处,以节点1为原点,节点1到节点2的方向为x轴正方向,节点1到节点4的方向为y轴正方向。则单元局部坐标系的x、y轴方向分别为:
x轴:$\begin{bmatrix}2\\0\end{bmatrix}$
y轴:$\begin{bmatrix}0\\2\end{bmatrix}$
3. 计算单元刚度矩阵的本地坐标系下的局部刚度矩阵
根据四节点单元的刚度矩阵公式,可以得到单元在本地坐标系下的局部刚度矩阵:
$$
k_e=\frac{E}{1-\nu^2}\begin{bmatrix}
\frac{\nu-1}{2}&\frac{1-\nu}{2}&\frac{-\nu}{2}&\frac{\nu}{2}\\
\frac{1-\nu}{2}&\frac{\nu-1}{2}&\frac{\nu}{2}&\frac{-\nu}{2}\\
\frac{-\nu}{2}&\frac{\nu}{2}&\frac{\nu-1}{2}&\frac{1-\nu}{2}\\
\frac{\nu}{2}&\frac{-\nu}{2}&\frac{1-\nu}{2}&\frac{\nu-1}{2}
\end{bmatrix}\frac{A}{L^2}
$$
其中,$E$为杨氏模量,$\nu$为泊松比,$A$为单元面积,$L$为边长。代入参数值可得:
$$
k_e=\frac{E}{1-\nu^2}\begin{bmatrix}
1&-1&0&0\\
-1&1&0&0\\
0&0&1&-1\\
0&0&-1&1
\end{bmatrix}
$$
4. 将单元刚度矩阵转换到全局坐标系下
根据坐标变换公式,可以得到单元刚度矩阵在全局坐标系下的表达式:
$$
K=T^Tk_eT
$$
其中,$T$为坐标变换矩阵,可以通过单元节点坐标计算得到。最终的四节点单元刚度矩阵为:
$$
K=\frac{E}{1-\nu^2}\frac{1}{2}\begin{bmatrix}
2&0&-1&-1\\
0&2&1&-1\\
-1&1&2&0\\
-1&-1&0&2
\end{bmatrix}
$$
以上就是四节点边长为2的单元刚度矩阵的推导过程。
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