有限元四边形matlab代码

有限元方法是一种数值分析方法，广泛应用于结构力学、流体力学、热力学等领域。在有限元方法中，网格划分是重要的一环，四边形元素是其中一种常见的网格。本篇文章将介绍四边形有限元的matlab代码，包括四边形元素的生成、刚度矩阵的计算、载荷向量的计算以及边界条件的处理。

1. 四边形元素的生成

在有限元计算中，通常需要由连续的四边形单元构成的网格来离散化分析区域。四边形单元的生成可以通过坐标点的数组来实现。假设已有Nx*Ny个坐标点，代码如下：

x=linspace(0,Lx,Nx+1);
y=linspace(0,Ly,Ny+1);
[X,Y]=meshgrid(x,y);

这里采用linspace函数生成等距坐标点，meshgrid函数将x坐标点和y坐标点组成的矩阵转置生成Nx*Ny个点，分别记作X(i,j)和Y(i,j)。

接下来，根据网格划分的要求，将这些点组合成四边形单元。四边形单元的划分方法有多种，最简单的是采用左上角顶点的编号i*Lx+j表示第i行第j列的四边形单元，然后依次将四边形单元的节点（顺时针或逆时针）编号存入element数组。

2. 刚度矩阵的计算

有了四边形单元的节点编号，就可以计算出每个单元的刚度矩阵，然后组合成整个系统的刚度矩阵。以线弹性力学为例，考虑平面应力情况下的弹性方程：

D*u_x,xx+D*u_y,yy=0

其中D为弹性模量，u_x和u_y是在x和y方向的位移。假设每个四边形单元都是矩形，各方向等分为Nx和Ny小段，节点数为(Nx+1)*(Ny+1)，那么每个小段的长度和宽度均为dx=Lx/Nx，dy=Ly/Ny，各小段的刚度矩阵为

Me=[2,1,1,2]/6;

De=D*[1,0;0,1]/[dx,0;0,dy];

Ke=De*Me/Det;

其中Det=dx*dy/4。将各小段的刚度矩阵组合成每个四边形单元的刚度矩阵，再组合成整个系统的刚度矩阵K，代码如下：

K=sparse(dofs,dofs);

for i=1:Nx

for j=1:Ny

ind=(i-1)*Ny+j;

edof = [2*ind-1, 2*ind, 2*ind+Ny*2-1, 2*ind+Ny*2];

Ke=elementstiffness(De,Me,dx,dy);

K(edof,edof)=K(edof,edof)+Ke;

end

end

其中sparse函数生成稀疏矩阵，加快计算速度。

3. 载荷向量的计算

在有限元方法中，载荷向量通常由集中力和分布载荷两部分组成。对于标准的重力载荷，其分布载荷密度可以近似认为在每个节点处等于常数g。因此只需计算出每个节点上的重力荷载大小，再根据单元形状函数将其转换为节点位移的荷载分量，最终将载荷向量f组装起来。

对于矩形的四边形单元，其形状函数为

N1=(1-xi)/2*(1-eta)/2;
N2=(1+xi)/2*(1-eta)/2;
N3=(1+xi)/2*(1+eta)/2;
N4=(1-xi)/2*(1+eta)/2;

其中xi和eta为规范化坐标。将节点编号存储到ele数组中，代码如下：

f=zeros(dofs,1);
g=@(xi,eta) g0;
for i=1:Nx
for j=1:Ny
ind=(i-1)*Ny+j;
edof = [2*ind-1, 2*ind, 2*ind+Ny*2-1, 2*ind+Ny*2];
x=[X(i,j),X(i+1,j),X(i+1,j+1),X(i,j+1)];
y=[Y(i,j),Y(i+1,j),Y(i+1,j+1),Y(i,j+1)];
f(edof)=f(edof)+[
N1*g(xi(1),eta(1));
N2*g(xi(2),eta(2));
N3*g(xi(3),eta(3));
N4*g(xi(4),eta(4))
]*det([1,1,1,1]'*x,[1,1,1,1]'*y)/4;
end
end

4. 边界条件处理

在有限元方法中，边界条件处理是十分关键的一步。对于位移边界条件，需要将位移值直接赋值为边界值，并在刚度矩阵和载荷向量中消去相应项；对于力边界条件，可以在载荷向量中直接赋值为边界值。这里假设左边界和下边界为固定边界，右边界和上边界为自由边界，代码如下：

fixeddofs=find(x<=0 | y<=0);

fdofs=find(x>=Lx | y>=Ly);

freedofs=setdiff(1:dofs,[fixeddofs;fdofs]);

u=zeros(dofs,1);

K(fixeddofs,:)=0;

K(fixeddofs,fixeddofs)=speye(size(fixeddofs,1));

f(fixeddofs)=0;

u(fixeddofs)=0;

u(freedofs)=K(freedofs,freedofs)\f(freedofs);

最后，在得到位移向量u后，可以根据需要计算出应力和应变等求解结果。

以上就是四边形有限元的matlab代码。需要注意的是，我们仅展示了纯四边形单元的情况，实际应用中可能需要将四边形单元与三角形元素混合使用，或使用更高阶的四边形元素。因此，在具体实现中需要结合实际情况进行修改和拓展。