E[X]E[Y]两个期望相乘，将此表达式转化为两个方差相乘的形式，给出表达式

可以使用科氏不等式将 E[X]E[Y] 转化为两个方差的形式：

Var[X]Var[Y] = E[(X - E[X])^2]E[(Y - E[Y])^2]
= E[X^2 - 2XE[X] + E[X]^2]E[Y^2 - 2YE[Y] + E[Y]^2]
= E[X^2]E[Y^2] - 2E[X]E[Y]E[XY] + E[X]^2E[Y]^2
= E[X^2]E[Y^2] - E[XY]^2

其中 E[XY] 表示 X 和 Y 的协方差。因此，E[X]E[Y] 可以表示为：

E[X]E[Y] = (E[XY] + E[X]E[Y]) / 2 + (E[XY] - E[X]E[Y]) / 2
= (E[XY] + E[X]E[Y]) / 2 + Cov[X, Y]

相关问题

E[X]E[Y]两个期望相乘，将此表达式转化为两个方差以及系数相乘的形式，给出表达式及方程

根据科研论文《Covariance and Correlation》中的公式，我们可以将两个随机变量X和Y的期望相乘的式子表示为：

E[X]E[Y] = Cov[X, Y] + E[X]E[Y]

其中Cov[X, Y]表示X和Y的协方差，即：

Cov[X, Y] = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]

进一步地，我们可以将协方差表示为两个方差和相关系数的乘积形式：

Cov[X, Y] = ρ[X, Y]σ[X]σ[Y]

其中，ρ[X, Y]是X和Y的相关系数，σ[X]和σ[Y]是X和Y的标准差。将协方差的这个表达式代入原式中，得到：

E[X]E[Y] = ρ[X, Y]σ[X]σ[Y] + E[X]E[Y]

移项，可以得到：

ρ[X, Y] = (E[X]E[Y] - E[X]E[Y]) / (σ[X]σ[Y])

即：

ρ[X, Y] = 0

因此，当X和Y的期望相乘时，它们的相关系数为0。

E[X]E[Y]两个期望相乘，将此表达式转化为方差的形式，给出表达式及方程

$E[X]E[Y]$ 的方差为：

$$Var(E[X]E[Y]) = E[(E[X]E[Y])^2] - [E(E[X]E[Y])]^2$$

由于 $E[X]$ 和 $E[Y]$ 是常数，我们可以将其提取出来：

$$\begin{aligned}
Var(E[X]E[Y]) &= E[(E[X]E[Y])^2] - [E(E[X])E(E[Y])]^2 \\
&= E[E[X]^2E[Y]^2] - E[E[X]]^2E[E[Y]]^2 \\
&= E[X^2]E[Y^2] - E[X]^2E[Y]^2
\end{aligned}$$

因此，$E[X]E[Y]$ 的方差为 $Var(E[X]E[Y]) = E[X^2]E[Y^2] - E[X]^2E[Y]^2$。