两个独立的期望相乘转化为方差，表达式以及推导过程是什么

假设 $X$ 和 $Y$ 是两个独立的随机变量，$E(X)$ 和 $E(Y)$ 分别是它们的期望值，则它们的乘积 $XY$ 的期望值为 $E(XY)=E(X) \cdot E(Y)$。

接下来，我们可以通过以下方式推导出它们的方差：

$$
\begin{aligned}
Var(XY) &= E[(XY)^2] - [E(XY)]^2 \\
&= E[X^2Y^2] - [E(X) \cdot E(Y)]^2 \\
&= E[X^2] \cdot E[Y^2] - [E(X)]^2 \cdot [E(Y)]^2 \\
&= Var(X) \cdot Var(Y) + [E(X)]^2 \cdot Var(Y) + [E(Y)]^2 \cdot Var(X)
\end{aligned}
$$

因此，我们得到了 $XY$ 的方差的表达式为 $Var(XY) = Var(X) \cdot Var(Y) + [E(X)]^2 \cdot Var(Y) + [E(Y)]^2 \cdot Var(X)$。

相关问题

E[X]E[Y]两个期望相乘，将此表达式转化为两个方差以及系数相乘的形式，给出表达式及方程

根据科研论文《Covariance and Correlation》中的公式，我们可以将两个随机变量X和Y的期望相乘的式子表示为：

E[X]E[Y] = Cov[X, Y] + E[X]E[Y]

其中Cov[X, Y]表示X和Y的协方差，即：

Cov[X, Y] = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]

进一步地，我们可以将协方差表示为两个方差和相关系数的乘积形式：

Cov[X, Y] = ρ[X, Y]σ[X]σ[Y]

其中，ρ[X, Y]是X和Y的相关系数，σ[X]和σ[Y]是X和Y的标准差。将协方差的这个表达式代入原式中，得到：

E[X]E[Y] = ρ[X, Y]σ[X]σ[Y] + E[X]E[Y]

移项，可以得到：

ρ[X, Y] = (E[X]E[Y] - E[X]E[Y]) / (σ[X]σ[Y])

即：

ρ[X, Y] = 0

因此，当X和Y的期望相乘时，它们的相关系数为0。

E[X]E[Y]两个期望相乘，将此表达式转化为两个方差相乘的形式，给出表达式

可以使用科氏不等式将 E[X]E[Y] 转化为两个方差的形式：

Var[X]Var[Y] = E[(X - E[X])^2]E[(Y - E[Y])^2]
= E[X^2 - 2XE[X] + E[X]^2]E[Y^2 - 2YE[Y] + E[Y]^2]
= E[X^2]E[Y^2] - 2E[X]E[Y]E[XY] + E[X]^2E[Y]^2
= E[X^2]E[Y^2] - E[XY]^2

其中 E[XY] 表示 X 和 Y 的协方差。因此，E[X]E[Y] 可以表示为：

E[X]E[Y] = (E[XY] + E[X]E[Y]) / 2 + (E[XY] - E[X]E[Y]) / 2
= (E[XY] + E[X]E[Y]) / 2 + Cov[X, Y]