次高价拍卖的成交价期望与方差的计算公式的推导
时间: 2024-06-03 22:10:35 浏览: 20
次高价拍卖的成交价期望和方差的计算公式如下:
设第二高的竞拍价为b,最高的竞拍价为a,则次高价拍卖的成交价为b。
期望值E(b)即为所有可能的b乘以其出现的概率,因此有:
E(b) = ∫[0, a] bf(b)db
其中f(b)为b的概率密度函数,是由最高价a和次高价b共同决定的:
f(b) = (n-1)*[(a/b)^(n-2)]*(1/a)
其中n为竞拍人数,b>a/n时,概率密度函数为0。
将f(b)代入E(b)的计算式,可得:
E(b) = ∫[0, a] b*(n-1)*[(a/b)^(n-2)]*(1/a)db
E(b) = (n-1)*a*(∫[0, a] [(1/b)^(n-2)]db)
通过代换u=1/b,可得:
E(b) = (n-1)*a*(∫[1/a, ∞] (u^(n-2))du)
E(b) = a*(n-1)/(n-2)
方差的计算公式为:
Var(b) = ∫[0, a] (b-E(b))^2 * f(b) db
Var(b) = (∫[0, a] (b^2)f(b)db) - [E(b)]^2
代入f(b)的表达式,可得:
Var(b) = a^2 * [(n-1)/(n-2)^2 - 1/(n-2)]
相关问题
推导次高价拍卖的成交价期望与方差的计算公式
推导次高价拍卖的成交价期望和方差的计算公式如下:
令 $X$ 表示次高价格,$Y$ 表示最高价格,$Z$ 表示次高和最高之外的其他价格,$b$ 表示所有竞拍者的信号的期望值.
则次高价拍卖的成交价期望为:
$$
E[X] = E[b | b < Y] \cdot P(b < Y)
$$
其中,$P(b < Y)$ 表示最高价格高于竞标人的信号的概率,即
$$
P(b<Y) = 1-F(b)
$$
其中 $F(b)$ 表示信号小于等于 $b$ 的人数占总竞价人数的比例,即
$$
F(b) = \frac{n(F_b)}{n}
$$
其中 $n(F_b)$ 表示信号小于等于 $b$ 的人数,$n$ 表示总竞价人数.
推导次高价拍卖的成交价方差的计算公式如下:
$$
Var[X]=E[b^2|b<Y] \cdot P(b<Y) - E[X]^2
$$
其中,$E[b^2|b<Y]$ 表示在最高价格高于竞标人的信号的条件下,竞标人信号的平方的期望值.
推导次高价拍卖的成交价期望与方差的计算公式.
次高价拍卖的成交价期望与方差的计算公式如下:
设最高出价为p1,次高出价为p2,成交价为p,且p>p2,则
期望成交价E(p) = ∫[p2,∞] p*f(p)dp,其中f(p)为概率密度函数,
即E(p) = ∫[p2,∞] p*(n-1)/[F(p2)]*(p/θ)^(-n)/θdp,
其中,n为竞买人数,θ为分布参数。
方差Var(p) = ∫[p2,∞](p-E(p))^2 *f(p)dp,
即Var(p) = ∫[p2,∞] (p-E(p))^2 * (n-1)/[F(p2)]* (p/θ)^(-n-1)/θdp。
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