推导次高价拍卖的成交价期望与方差的计算公式,并列出计算结果与计算过程
时间: 2024-05-23 21:14:58 浏览: 24
好的,您的问题是推导次高价拍卖的成交价期望与方差的计算公式,我了解了。根据次高价拍卖的情况,设有n个人参与竞拍,竞拍者的出价为{v1, v2, ..., vn},则次高价拍卖的中标者为出价第二高的人,其出价为v(i-1),其中i为最高出价者的排名。
首先,计算次高价拍卖的成交价期望。设f(x)为次高价拍卖中标价为x的概率密度函数,则次高价拍卖的成交价期望为:
E(X) = ∫xf(x)dx
又因为中标者是第二高出价者,出价高于其的概率为(n-1)/n,出价低于其的概率为1/n,因此有:
f(x) = (n-1)/n * [F(x)-F(x(i-1))] * f(i-1)
其中,F(x)为竞拍者出价不高于x的分布函数,f(i-1)为出价为v(i-1)时的概率密度函数,x(i-1)为第二高出价者出价v(i-1)。
代入上式,得到次高价拍卖的成交价期望为:
E(X) = (n-1)/n * ∫x[F(x)-F(x(i-1))]f(i-1)dx + v(i-1)
接下来,计算次高价拍卖的成交价方差。根据定义,次高价拍卖的成交价方差为:
Var(X) = E(X^2) - E(X)^2
其中,E(X^2)为次高价拍卖的成交价平方的期望,可由f(x)推得:
E(X^2) = ∫x^2f(x)dx = (n-1)/n * [∫x^2F(x)dx - v(i-1)^2] + v(i-1)^2
代入上式,得到次高价拍卖的成交价方差为:
Var(X) = (n-1)/n * [∫x^2F(x)dx - v(i-1)^2] - {[(n-1)/n * ∫x[F(x)-F(x(i-1))]f(i-1)dx + v(i-1)]}^2
这就是次高价拍卖的成交价期望与方差的计算公式。如果您提供更具体的参数,比如竞拍者的出价分布,我们可以代入计算公式得到更具体的计算结果。
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