Friedman检验计算公式推导

Friedman检验是一种非参数的统计检验方法，用于比较多个相关样本的平均值是否存在差异。它可以看作是非参数的一元方差分析。

下面是Friedman检验的公式推导过程：

假设有k个相关样本，每个样本有n个观测值。我们用Rij表示第i个样本中第j个观测值的秩，其中i = 1, 2, ..., k；j = 1, 2, ..., n。

1. 对于每个样本，将其所有观测值按照大小进行排序，并标记排名。若有相同的观测值，则取平均排名。

2. 计算每个样本的秩平均值，即将每个样本的排名求平均。用Ri表示第i个样本的秩平均值，其中i = 1, 2, ..., k。

3. 计算总体秩平均值，即将所有样本的排名求平均。用R表示总体秩平均值。

4. 计算每个样本的秩和，即将每个样本的排名求和。用Tj表示第j个样本的秩和，其中j = 1, 2, ..., n。

5. 计算Friedman统计量，公式为：

Friedman = [12 * n * (R - (k + 1) / 2)^2] / [k * (k + 1) * (2k + 1) - 6 * T / n]

其中，n为每个样本的观测值个数，R为总体秩平均值，T为所有样本的秩和。

6. 根据Friedman统计量的值和自由度（df），可以查找Friedman分布表或进行数值计算，得到对应的显著性水平。

如果Friedman统计量显著大于临界值，那么我们可以拒绝原假设，即认为有至少一个样本组的平均值存在差异。反之，如果Friedman统计量小于等于临界值，那么我们接受原假设，即认为样本组的平均值没有显著差异。

需要注意的是，Friedman检验是一种非参数方法，不依赖于数据的分布假设，适用于有序分类数据或连续数据的非正态情况。