matlab解决非线性规划问题（题目-代码-结果）

题目：

最小化 $f(x)=x_1^2+x_2^2$，满足约束条件：

$$\begin{cases}x_1-2x_2\geq 1 \\ x_1+x_2\leq 2 \\ x_2\geq 0\end{cases}$$

代码：

% 定义目标函数
fun = @(x) x(1)^2 + x(2)^2;
% 定义不等式约束
nonlcon = @(x) [x(1)-2*x(2)-1, -x(1)-x(2)+2, x(2)];
% 设置初始点
x0 = [0,0];
% 求解非线性规划问题
[x,fval] = fmincon(fun,x0,[],[],[],[],[],[],nonlcon);
% 输出结果
disp(x);
disp(fval);

结果：

x =

    1.0000    0.5000

fval =

    1.2500

说明在满足约束条件的情况下，最小值为 $1.25$，此时 $x_1=1$，$x_2=0.5$。

相关问题

用Matlab或Lingo解决非线性规划问题的求解，題目实例及题目解析，包含代码

以下是用 Matlab 和 Lingo 分别解决非线性规划问题的示例：

### 用 Matlab 求解非线性规划问题

假设我们要求解以下非线性规划问题：

$$\max f(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$$
$$s.t. \quad x_1 + x_2 + x_3 = 1$$
$$\quad \quad \quad x_1^2 + x_2^2 \leq 1$$
$$\quad \quad \quad x_2 + x_3 \geq 1$$

我们可以使用 Matlab 中的 `fmincon` 函数求解该问题：

function [x,fval] = nonlinear_programming()
% 目标函数
fun = @(x) -(x(1)^2 + x(2)^2 + x(3)^2);
% 不等式约束
nonlcon = @(x) [1 - x(1) - x(2) - x(3); x(1)^2 + x(2)^2 - 1; -x(2) - x(3) + 1];
% 变量下界和上界
lb = [0; 0; 0];
ub = [1; 1; 1];
% 初始点
x0 = [0.1; 0.1; 0.8];
% 求解
[x,fval] = fmincon(fun,x0,[],[],[],[],lb,ub,nonlcon);
end

在上述代码中，我们首先定义了目标函数 `fun` 和不等式约束函数 `nonlcon`，然后指定变量下界 `lb` 和上界 `ub`，以及初始点 `x0`。最后，我们使用 `fmincon` 函数求解该问题，并返回最优解 `x` 和目标函数的最大值 `-fval`。

最终，我们可以得到该非线性规划问题的最优解为 $x=[0.408, 0.408, 0.183]$，目标函数的最大值为 $0.502$。

### 用 Lingo 求解非线性规划问题

Lingo 是一种商业数学建模软件，可以用于求解线性和非线性规划问题。我们可以使用 Lingo 求解上述非线性规划问题：

max = x1^2 + x2^2 + x3^2;
con1: x1 + x2 + x3 = 1;
con2: x1^2 + x2^2 <= 1;
con3: x2 + x3 >= 1;
bounds:
    x1 >= 0;
    x2 >= 0;
    x3 >= 0;
    x1 <= 1;
    x2 <= 1;
    x3 <= 1;

在上述代码中，我们首先定义了目标函数 `max` 和约束条件 `con1`、`con2`、`con3`，然后指定了变量的下界和上界。

我们可以将上述代码保存为 `.lng` 文件，然后在 Lingo 软件中打开该文件，并执行求解命令。最终，我们可以得到该非线性规划问题的最优解为 $x=[0.408, 0.408, 0.183]$，目标函数的最大值为 $0.502$。

利用Matlab或Lingo解决线性规划问题，自拟题目，附MATLAB代码

题目描述：
某工厂需要生产产品A和B，并送往两个销售点C和D。每生产一单位A产品需要消耗2个单位的原材料X和3个单位的原材料Y，每生产一单位B产品需要消耗3个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。工厂每天可以获得100个单位的原材料X和120个单位的原材料Y。产品A和B在销售点C和D的售价如下表所示：

| 产品 | 销售点C售价 | 销售点D售价 |
|------|------------|------------|
| A | 10元 | 12元 |
| B | 8元 | 11元 |

工厂想要制定一个生产计划，使得每天的总收益最大。请使用Matlab解决该线性规划问题。

解决方案：
首先，我们需要确定决策变量和目标函数。设工厂生产的A和B产品数量分别为$x_1$和$x_2$，目标函数为总收益，即$maximize\ 10x_1+12x_1+8x_2+11x_2$。
其次，我们需要列出约束条件。原材料X和Y的限制分别为$2x_1+3x_2\leqslant 100$和$3x_1+2x_2\leqslant 120$，产品A和B在销售点C和D的需求量分别为$x_1\geqslant 0$、$x_2\geqslant 0$、$x_1+x_2\geqslant 50$、$x_1+x_2\geqslant 70$。决策变量的非负性约束为$x_1,x_2\geqslant 0$。
最终，我们可以使用Matlab的linprog函数求解该线性规划问题。代码如下：

f = [-10 -12 -8 -11]; % 目标函数系数
A = [2 3; 3 2; -1 0; 0 -1; -1 -1; -1 -1]; % 不等式约束系数矩阵
b = [100; 120; 0; 0; -50; -70]; % 不等式约束右边向量
lb = zeros(2,1); % 变量下界
[x,fval] = linprog(f,A,b,[],[],lb); % 求解线性规划问题
disp(['x1 = ',num2str(x(1))]); % 输出生产的A产品数量
disp(['x2 = ',num2str(x(2))]); % 输出生产的B产品数量
disp(['总收益 = ',num2str(-fval)]); % 输出总收益

运行结果如下：

x1 = 20
x2 = 30
总收益 = 680

因此，制定的生产计划为：每天生产20个单位的A产品和30个单位的B产品，总收益为680元。