四边简支板弯曲里兹法求解matlab

四边简支板弯曲问题可以使用里兹法进行求解。以下是matlab代码示例：

% 定义板的几何参数和材料参数
L = 1; % 板的长度
W = 1; % 板的宽度
h = 0.1; % 板的厚度
E = 2.1e11; % 杨氏模量
v = 0.3; % 泊松比
q = 1e3; % 外载荷

% 定义离散化参数
nx = 10; % x方向上的节点数
ny = 10; % y方向上的节点数

% 计算单元尺寸
dx = L/(nx-1);
dy = W/(ny-1);

% 构建节点坐标矩阵
[X,Y] = meshgrid(0:dx:L,0:dy:W);

% 构建节点编号矩阵
n = reshape(1:(nx*ny),ny,nx);

% 定义刚度矩阵和载荷向量
K = zeros(nx*ny);
F = zeros(nx*ny,1);

% 循环遍历每个单元，计算刚度矩阵和载荷向量
for i = 1:(nx-1)
    for j = 1:(ny-1)
        % 定义单元节点编号
        n1 = n(j,i);
        n2 = n(j+1,i);
        n3 = n(j+1,i+1);
        n4 = n(j,i+1);
        
        % 计算单元刚度矩阵和载荷向量
        [Ke,fe] = element_stiffness([X(j,i),Y(j,i)],[X(j+1,i),Y(j+1,i)],[X(j+1,i+1),Y(j+1,i+1)],[X(j,i+1),Y(j,i+1)],h,E,v,q);
        
        % 将单元刚度矩阵和载荷向量加入总刚度矩阵和载荷向量中
        K([n1,n2,n3,n4],[n1,n2,n3,n4]) = K([n1,n2,n3,n4],[n1,n2,n3,n4]) + Ke;
        F([n1,n2,n3,n4]) = F([n1,n2,n3,n4]) + fe;
    end
end

% 处理边界条件
fixed_nodes = unique([n(1,:),n(ny,:),n(:,1)',n(:,nx)']); % 边界节点
free_nodes = setdiff(1:(nx*ny),fixed_nodes); % 内部节点
K(fixed_nodes,:) = 0;
K(:,fixed_nodes) = 0;
K(fixed_nodes,fixed_nodes) = eye(length(fixed_nodes));
F(fixed_nodes) = 0;

% 求解位移向量
U = K(free_nodes,free_nodes)\F(free_nodes);

% 将位移向量赋值给节点坐标矩阵，得到变形后的节点坐标矩阵
X_disp = X;
Y_disp = Y;
X_disp(free_nodes) = X(free_nodes) + U(1:2:end);
Y_disp(free_nodes) = Y(free_nodes) + U(2:2:end);

% 绘制变形后的板的形状
figure;
plot(X_disp(:),Y_disp(:),'ko');
hold on;
for i = 1:(nx-1)
    for j = 1:(ny-1)
        n1 = n(j,i);
        n2 = n(j+1,i);
        n3 = n(j+1,i+1);
        n4 = n(j,i+1);
        plot([X_disp(j,i),X_disp(j+1,i),X_disp(j+1,i+1),X_disp(j,i+1),X_disp(j,i)],[Y_disp(j,i),Y_disp(j+1,i),Y_disp(j+1,i+1),Y_disp(j,i+1),Y_disp(j,i)],'k-');
    end
end
axis equal;

其中，element_stiffness函数用于计算单元刚度矩阵和载荷向量，代码如下：

function [Ke,fe] = element_stiffness(x1,x2,x3,x4,h,E,v,q)
% 计算四边形单元的刚度矩阵和载荷向量

% 计算单元杆长和法向量
L1 = norm(x2-x1);
L2 = norm(x3-x2);
L3 = norm(x4-x3);
L4 = norm(x1-x4);
L = [L1,L2,L3,L4];
n = [(x2-x1)/L1;(x3-x2)/L2;(x4-x3)/L3;(x1-x4)/L4];

% 定义单元刚度矩阵和载荷向量
Ke = zeros(8);
fe = zeros(8,1);
for i = 1:4
    % 计算单元形函数的导数
    dNi_dx = (n(i,2)*[1,-1,1,-1]+n(i,1)*[-1,-1,1,1])/(2*h);
    
    % 计算单元刚度矩阵和载荷向量
    Ke(2*i-1:2*i,2*i-1:2*i) = Ke(2*i-1:2*i,2*i-1:2*i) + E*h*transpose(dNi_dx)*dNi_dx*L(i);
    fe(2*i-1:2*i) = fe(2*i-1:2*i) + q*h*L(i)*[1;1]/4;
end

运行上述代码，即可得到四边简支板的变形情况。