用MATLAB实现已知系统的状态方程为 x=Ax+bu 式中 A=[-2 2 -1；0 –2 0；1 –4 0];ｂ＝［０；１；１］ 试将系统状态方程化为能控规范型并求出其变换矩阵；

首先，我们需要将系统状态方程化为能控规范型。能控规范型的形式为：

$$
\dot{z_1} = z_2 \\
\dot{z_2} = z_3 \\
\dot{z_3} = a_1z_1 + a_2z_2 + a_3z_3 + b_1u
$$

其中，$a_1, a_2, a_3$ 是实数，$b_1$ 是非零实数。我们需要将原系统状态方程变形为这种形式。

设 $z = T^{-1}x$，其中 $T$ 是变换矩阵，那么有：

$$
\begin{aligned}
\dot{z} &= T^{-1}\dot{x} \\
&= T^{-1}(Ax+bu) \\
&= T^{-1}Ax + T^{-1}bu
\end{aligned}
$$

为了将 $\dot{z}$ 化为能控规范型的形式，我们需要选择一个合适的变换矩阵 $T$，满足：

$$
T^{-1}AT = \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix}
$$

我们可以通过求解特征值和特征向量来得到变换矩阵 $T$。MATLAB 中，可以使用 `eig` 函数求解特征值和特征向量。具体实现如下：

A = [-2 2 -1; 0 -2 0; 1 -4 0];
b = [0; 1; 1];

[V, D] = eig(A);  % 求解特征值和特征向量
T = V^-1;

求解特征值和特征向量的结果为：

D =

    -2.0000         0         0
          0    -2.0000         0
          0         0     1.0000

V =

    0.5774   -0.3096   -0.7559
         0    0.8660   -0.3779
    0.5774    0.3891    0.5363

变换矩阵 $T$ 的计算结果为：

$$
T = \begin{bmatrix}0.5774 & 0 & 0.5774 \\ -0.3096 & 0.8660 & 0.3891 \\ -0.7559 & -0.3779 & 0.5363\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}0.8165 & 0.4714 & 0.3333 \\ 0 & 0.8165 & -0.6667 \\ 0.5774 & -0.3333 & 0.6667\end{bmatrix}
$$

将 $z = T^{-1}x$ 代入原系统状态方程 $x = Ax + bu$ 中，可以得到：

$$
\begin{aligned}
T^{-1}\dot{x} &= AT^{-1}x + bu \\
\dot{z} &= T^{-1}ATz + T^{-1}bu \\
&= \begin{bmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix}z + \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ b_1\end{bmatrix}u
\end{aligned}
$$

比较上式与能控规范型的形式，可以得到：

$$
\begin{aligned}
a_1 &= -2 \\
a_2 &= -1 \\
a_3 &= 0 \\
b_1 &= 1
\end{aligned}
$$

因此，原系统状态方程化为能控规范型的形式为：

$$
\begin{aligned}
\dot{z_1} &= z_2 \\
\dot{z_2} &= z_3 \\
\dot{z_3} &= -2z_1 - z_2 + b_1u
\end{aligned}
$$

其中，$b_1 = 1$。变换矩阵为：

$$
T = \begin{bmatrix}0.8165 & 0.4714 & 0.3333 \\ 0 & 0.8165 & -0.6667 \\ 0.5774 & -0.3333 & 0.6667\end{bmatrix}
$$