minkowski sum

Minkowski sum是指在二维或三维空间中，将两个凸多边形或凸多面体的所有点相加而形成的一个新的凸多边形或凸多面体的过程。具体来说，将一个多边形或多面体的每个点和另一个多边形或多面体的每个点相加，得到的新点集合就是Minkowski sum。这个过程可以用于计算机图形学中的碰撞检测、路径规划等问题。

相关问题

Minkowski sum

### Minkowski 和的概念及其在计算几何中的应用

#### 定义与基本性质
Minkowski 和是指两个集合 \( A \) 和 \( B \) 的向量加法运算结果，定义如下：

\[ A + B = \{ a + b : a \in A, b \in B \} \]

这种操作可以直观理解为将其中一个形状平移并覆盖另一个形状的所有可能位置[^1]。

对于多边形或多面体而言，Minkowski 和可以通过逐点相加以图形方式表示出来。具体来说，在二维空间中给定两个凸多边形 P 和 Q，则它们的 Minkowski 和是一个新的凸包区域 R，该区域内任意一点都可以由来自 P 和 Q 中各取一点求得其矢量和而获得[^2]。

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from shapely.geometry import Polygon
from descartes.patch import PolygonPatch

def minkowski_sum(polygon_a, polygon_b):
    """Compute the Minkowski sum of two polygons."""
    result_vertices = []
    
    for vertex_a in polygon_a.exterior.coords[:-1]:
        for vertex_b in polygon_b.exterior.coords[:-1]:
            new_vertex = (vertex_a[0]+vertex_b[0], vertex_a[1]+vertex_b[1])
            result_vertices.append(new_vertex)

    return Polygon(result_vertices).convex_hull

# Example usage with simple squares.
square_1 = Polygon([(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)])
square_2 = Polygon([(-0.5, -0.5), (-0.5, 0.5), (0.5, 0.5), (0.5, -0.5)])

sum_polygon = minkowski_sum(square_1, square_2)

fig, ax = plt.subplots()
ax.add_patch(PolygonPatch(sum_polygon, fc='blue', alpha=0.5))
plt.xlim([-2, 2])
plt.ylim([-2, 2])
plt.show()

#### 应用场景
- **机器人路径规划**：当考虑障碍物时，通过计算机器人的工作范围与其周围静态物体之间的 Minkowski 和来预估潜在碰撞风险。

- **计算机辅助设计(CAD)**：用于创建复杂模型，特别是处理具有特定偏置距离的对象轮廓线扩展问题。

- **图像形态学分析**：作为膨胀(dilation)算子的基础工具之一，帮助识别二值化图片内的连通域特征变化情况。

minkowski sum的用途

Minkowski sum的主要用途是在计算机图形学和机器人路径规划中。在计算机图形学中，Minkowski sum可以用于计算两个多边形的并集、交集和对称差等操作。在机器人路径规划中，Minkowski sum可以用于计算机器人的可达区域，避免机器人碰撞到障碍物。此外，Minkowski sum也可以用于计算点云数据之间的距离，以及在计算机视觉中进行形状匹配和物体识别等方面。