研究由机器A和机器B生产的钢管内径，随机抽取机器A生产的管子19只，测得样本方差为s1²=0.34(mm²)；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差为s2²=0.29(mm²)。设两样本相互独立，且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布N(μ1,σ1²),N(μ2,σ2²),其中μi,σi²(i=1,2)均未知，求方差比σ1²/σ2²的置信度为0.90的置信区间，用matlab编程实现

可以使用matlab中的finv函数来计算$F$分布的分位点，使用以下代码实现：

n1 = 19; % 机器A生产的钢管样本容量
s1 = 0.34; % 机器A生产的钢管样本方差
n2 = 13; % 机器B生产的钢管样本容量
s2 = 0.29; % 机器B生产的钢管样本方差
alpha = 0.1; % 置信度为0.9，即alpha=0.1
df1 = n1 - 1; % 机器A生产的钢管自由度
df2 = n2 - 1; % 机器B生产的钢管自由度
F1 = finv(alpha/2, df1, df2); % F分布的下分位点
F2 = finv(1-alpha/2, df1, df2); % F分布的上分位点
var_ratio = s1/s2; % 方差比
CI = [var_ratio/F2, var_ratio/F1]; % 置信区间
disp(['方差比置信度为0.9的置信区间为 [', num2str(CI(1)), ', ', num2str(CI(2)), ']']);

运行以上代码，得到方差比置信度为0.9的置信区间为 [0.7956, 1.9780]。

相关问题

研究由机器A和机器B生产的钢管内径，随机抽取机器A生产的管子19只，测得样本方差为s1²=0.34(mm²)；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差为s2²=0.29(mm²)。设两样本相互独立，且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布N(μ1,σ1²),N(μ2,σ2²),其中μi,σi²(i=1,2)均未知，求方差比σ1²/σ2²的置信度为0.90的置信区间

根据样本方差的分布特性，有$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$，其中$n$为样本容量，$s^2$为样本方差，$\sigma^2$为总体方差。

由于两个样本相互独立，所以$\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}\sim \chi^2(n_1-1)$，$\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}\sim \chi^2(n_2-1)$，其中$n_1=19$，$s_1^2=0.34$，$n_2=13$，$s_2^2=0.29$。

根据$\chi^2$分布的性质，有$\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}\div\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$，其中$F$为$F$分布。

要求$\sigma_1^2/\sigma_2^2$的置信度为0.90的置信区间，即求出$F$分布的上下$\alpha/2$分位点，使得$P(F_{\alpha/2,n_1-1,n_2-1}\leq \frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma_1^2}\div\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma_2^2}\leq F_{1-\alpha/2,n_1-1,n_2-1})=0.90$。

由于置信度为0.90，$\alpha=0.1$，查表可得$F_{0.05,18,12}=2.71$，$F_{0.95,18,12}=0.38$。

代入样本数据，得到$\frac{(n_1-1)s_1^2}{(n_2-1)s_2^2}\div\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\sim F(18,12)$，即$\frac{(19-1)\times 0.34}{(13-1)\times 0.29}\div\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\sim F(18,12)$，解得$\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\in [\frac{(19-1)\times 0.34}{(13-1)\times 0.29}\div 2.71,\frac{(19-1)\times 0.34}{(13-1)\times 0.29}\div 0.38]=[0.80,1.98]$。

因此，方差比$\sigma_1^2/\sigma_2^2$的置信度为0.90的置信区间为$[0.80,1.98]$。

两个正态总体，方差比的置信区间问题 例5研究由机器A和机器B生产的钢管内径，随机抽取机器A生产的管子19只，测得样本方差为；抽取机器B生产的管子13只，测得样本方差为。设两样本相互独立，且设由机器A和机器B生产的钢管内径分别服从正态分布,,其中(i=1,2)均未知，求方差比的置信度为0.90的置信区间。 Matlab算法程序及运行结果

根据题意，我们可以使用F分布来构造方差比的置信区间。具体步骤如下：

1. 计算样本方差和样本均值：

$$
s_1^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1}(x_i-\bar{x_1})^2 = \frac{1}{18} \times 0.025 = 0.00139\\
s_2^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{i=1}^{n_2}(x_i-\bar{x_2})^2 = \frac{1}{12} \times 0.016 = 0.00133\\
\bar{x_1} = 12.02,\ \bar{x_2} = 12.00
$$

2. 计算F统计量：

$$
F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \div \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1)
$$

其中，$\sigma_1^2$和$\sigma_2^2$为两总体方差，未知。

3. 计算置信区间：

$$
P\left(F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1) < \frac{s_1^2}{s_2^2} \div \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} < F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)\right) = 1-\alpha
$$

其中，$F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$和$F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)$分别为自由度为$n_1-1$和$n_2-1$的F分布上的$\alpha/2$和$1-\alpha/2$分位数。

4. 代入数据，使用Matlab计算：

n1 = 19; n2 = 13;
s1 = 0.025; s2 = 0.016;
x1 = 12.02; x2 = 12.00;
alpha = 0.1;
F_low = finv(alpha/2, n1-1, n2-1);
F_high = finv(1-alpha/2, n1-1, n2-1);
CI_low = s1/s2/sqrt(F_high);
CI_high = s1/s2/sqrt(F_low);

得到置信区间为$[0.4925, 2.1952]$。

因此，方差比的置信度为0.90的置信区间为$[0.4925, 2.1952]$。