非线性Klein-Gordon方程稳定的有限差分格式有哪些,请给我数学公式表达出来
时间: 2024-05-26 07:18:44 浏览: 12
非线性Klein-Gordon方程的稳定有限差分格式通常包括以下两类:
一类是基于时间分裂技术的格式,将时间变量分为两个部分,先对其中一个部分进行差分离散,再对另一个部分进行差分离散。比较常用的时间分裂格式有Strang格式和Crank-Nicolson格式。以Crank-Nicolson格式为例,其差分方程为:
$$
\frac{u_m^{n+1}-u_m^{n}}{\Delta t}=-\frac{i}{2\Delta x^2}(u_{m+1}^{n+1}-2u_m^{n+1}+u_{m-1}^{n+1}+u_{m+1}^{n}-2u_m^n+u_{m-1}^n)+i\lambda |u_m^{n+1}|^2u_m^{n+1}
$$
其中,$u_m^n$表示在时间$n\Delta t$和空间$m\Delta x$处的函数值,$\Delta t$和$\Delta x$分别表示时间和空间的步长,$\lambda$表示非线性项的系数。
另一类是基于能量守恒的格式,通常使用Leapfrog格式或者Runge-Kutta格式。以Leapfrog格式为例,其差分方程为:
$$
\frac{u_m^{n+1}-u_m^{n-1}}{2\Delta t}=-\frac{i}{\Delta x^2}(u_{m+1}^{n}-2u_m^n+u_{m-1}^{n})+\frac{i\lambda}{2}(|u_m^{n+1}|^2u_m^{n+1}+|u_m^{n-1}|^2u_m^{n-1})
$$
其中,$u_m^n$表示在时间$n\Delta t$和空间$m\Delta x$处的函数值,$\Delta t$和$\Delta x$分别表示时间和空间的步长,$\lambda$表示非线性项的系数。需要注意的是,Leapfrog格式需要一个初始时刻$t_0$和一个中间时刻$t_{1/2}=t_0+\Delta t/2$的初始值,因此需要使用另一种稳定的格式进行初始值的计算。
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