有限元法求解微分方程代码
时间: 2023-06-29 19:12:57 浏览: 110
以下是一个简单的有限元法求解二阶微分方程的代码示例:
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义微分方程
def f(x):
return 2 * np.sin(x)
# 定义边界条件
left_bc = 0
right_bc = 0
# 定义参数
n = 100 # 离散点个数
a = 0 # 区间左端点
b = np.pi # 区间右端点
h = (b - a) / n # 步长
# 构建刚度矩阵和载荷向量
A = np.zeros([n-1, n-1])
b = np.zeros([n-1])
for i in range(n-1):
# 对角线元素
A[i, i] = 2 / h + h * f(a + (i+1)*h)**2 / 2
# 上下对角线元素
if i > 0:
A[i, i-1] = -1 / h
if i < n-2:
A[i, i+1] = -1 / h
# 载荷向量
b[i] = h * f(a + (i+1)*h)
# 添加边界条件
A = np.vstack([A[0], A, A[-1]])
A = np.hstack([np.zeros([n+1, 1]), A, np.zeros([n+1, 1])])
A[0, 0] = 1
A[-1, -1] = 1
b = np.hstack([left_bc, b, right_bc])
# 求解线性方程组
u = np.linalg.solve(A, b)
# 绘制结果
x = np.linspace(a, b, n+1)
plt.plot(x, u)
plt.show()
```
在这个例子中,我们使用有限元法来求解微分方程 $u''(x) = f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 内的解,其中 $f(x) = 2\sin(x)$,左端点和右端点的边界条件均为 $u(0) = u(\pi) = 0$。
首先,我们将区间离散化为 $n$ 个点,步长为 $h = (\pi - 0) / n$。然后,我们构建刚度矩阵和载荷向量,其中刚度矩阵的对角线元素为 $2/h + h f(x_{i+1})^2 / 2$,上下对角线元素为 $-1/h$,载荷向量的元素为 $hf(x_{i+1})$。
最后,我们添加边界条件,其中左端点和右端点的 $u$ 值均为 $0$,并求解线性方程组。最后,我们将结果绘制出来,得到微分方程的解。