如何求一条2次多项式B样条曲线来拟合三个点,参数t分别为0、1/2、1
时间: 2024-01-24 10:17:55 浏览: 37
对于一个二次多项式B样条曲线,可以表示为:
$$
\mathbf{P}(t)=\sum_{i=-1}^{1} \mathbf{P}_{i} N_{i,2}(t)
$$
其中,$\mathbf{P}_{i}$ 表示控制点,$N_{i,2}(t)$ 表示二次B样条基函数,$t$ 为参数。
在本题中,要求用二次多项式B样条曲线拟合三个点,参数 $t$ 分别为 $0$,$1/2$,$1$。因此,我们需要确定三个控制点 $\mathbf{P}_{-1}$,$\mathbf{P}_{0}$,$\mathbf{P}_{1}$。
以 $\mathbf{P}_{0}$ 为起点,$\mathbf{P}_{1}$ 为终点,$\mathbf{P}_{-1}$ 为中间点,根据B样条基函数的定义,有:
$$
N_{-1,2}(0) = \frac{(0-(-1))^2}{2\cdot 1^2} = \frac{1}{2} \\
N_{-1,2}(1/2) = \frac{(1/2-(-1))^2}{2\cdot 1^2} = \frac{3}{4} \\
N_{-1,2}(1) = \frac{(1-(-1))^2}{2\cdot 1^2} = 1/2
$$
$$
N_{0,2}(0) = \frac{(0-0)^2}{2\cdot 1^2} = 0 \\
N_{0,2}(1/2) = \frac{(1/2-0)^2}{2\cdot 1^2} = \frac{1}{4} \\
N_{0,2}(1) = \frac{(1-0)^2}{2\cdot 1^2} = 1/2
$$
$$
N_{1,2}(0) = \frac{(0-1)^2}{2\cdot 1^2} = \frac{1}{2} \\
N_{1,2}(1/2) = \frac{(1/2-1)^2}{2\cdot 1^2} = \frac{1}{4} \\
N_{1,2}(1) = \frac{(1-1)^2}{2\cdot 1^2} = 0
$$
因此,由三个点和对应的基函数系数,可以得到二次多项式B样条曲线:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{P}(t) &= \mathbf{P}_{-1}N_{-1,2}(t) + \mathbf{P}_{0}N_{0,2}(t) + \mathbf{P}_{1}N_{1,2}(t) \\
&= \frac{1}{2}\mathbf{P}_{-1} + \frac{1}{4}\mathbf{P}_{0} + \frac{1}{4}\mathbf{P}_{1} \quad (t=0) \\
&= \frac{3}{4}\mathbf{P}_{-1} + \frac{1}{4}\mathbf{P}_{0} \quad (t=1/2) \\
&= \frac{1}{2}\mathbf{P}_{0} + \frac{1}{4}\mathbf{P}_{1} \quad (t=1)
\end{aligned}
$$
由此,可以组成一个线性方程组,求解出控制点 $\mathbf{P}_{-1}$,$\mathbf{P}_{0}$,$\mathbf{P}_{1}$ 的值。
$$
\begin{bmatrix}
1/2 & 1/4 & 1/4 \\
3/4 & 1/4 & 0 \\
1/2 & 0 & 1/4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\mathbf{P}_{-1} \\
\mathbf{P}_{0} \\
\mathbf{P}_{1}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\mathbf{P}(0) \\
\mathbf{P}(1/2) \\
\mathbf{P}(1)
\end{bmatrix}
$$
最终得到控制点的值为:
$$
\mathbf{P}_{-1} = 2\mathbf{P}(0) - 4\mathbf{P}(1/2) + 2\mathbf{P}(1) \\
\mathbf{P}_{0} = \frac{4}{3}(\mathbf{P}(1/2) - \frac{1}{2}\mathbf{P}(0) - \frac{1}{2}\mathbf{P}(1)) \\
\mathbf{P}_{1} = 2\mathbf{P}(1) - 4\mathbf{P}(1/2) + 2\mathbf{P}(0)
$$
将计算出的控制点代入二次多项式B样条曲线的公式中,即可得到拟合三个点的B样条曲线。