交替方向乘子法 matlab

交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，简称ADMM）是一种用于求解带约束优化问题的算法。它通过引入拉格朗日乘子变量，将原问题转化为带有约束的无约束问题，并通过交替更新变量和乘子的方式求解。

以下是一个用matlab实现ADMM算法的示例：

function [x,z] = admm(A,b,rho,max_iter)
% A: 系数矩阵
% b: 右端项
% rho: ADMM参数
% max_iter: 最大迭代次数

[m,n] = size(A);
x = zeros(n,1);
z = zeros(n,1);
u = zeros(n,1);

for k = 1:max_iter
    % 更新x
    x = (A'*A+rho*eye(n))\(A'*b+rho*(z-u));
    % 更新z
    z_old = z;
    z = soft_threshold(x+u,1/rho);
    % 更新乘子u
    u = u + x - z;
    % 判断收敛
    if norm(z-z_old) < 1e-4
        break
    end
end

function y = soft_threshold(x,lambda)
% 软阈值函数
y = sign(x).*max(abs(x)-lambda,0);

该函数中使用了一个软阈值函数来实现L1范数的约束条件。在实际应用中，可以根据问题的具体情况来选择不同的约束条件。

使用该函数求解带约束的最小二乘问题的示例：

% 构造数据
n = 100;
m = 50;
A = randn(m,n);
x_true = randn(n,1);
b = A*x_true + 0.1*randn(m,1);
% 求解带约束的最小二乘问题
rho = 1;
max_iter = 1000;
[x,z] = admm(A,b,rho,max_iter);
% 显示结果
figure
subplot(211)
plot(x_true,'r')
hold on
plot(x,'b')
legend('true','recovered')
subplot(212)
plot(z,'g')
legend('z')

该程序先随机生成一个数据集，然后使用ADMM算法求解带约束的最小二乘问题，最后将结果显示出来。需要注意的是，在实际应用中，需要根据具体问题来选择合适的ADMM参数和停止准则。