交替乘子方向法matlab代码

以下是交替乘子方向法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）的Matlab代码示例：

% 定义问题的参数和变量
A = [1, 1; 1, -1; 2, 1]; % 系数矩阵
b = [2; 0; 3]; % 常数项
rho = 1; % ADMM参数
x = [0; 0]; % 待求解变量
z = [0; 0]; % 辅助变量
u = [0; 0]; % 对偶变量

% 定义代价函数和约束条件
f = @(x) 0.5 * norm(A * x - b)^2;
g = @(z) norm(z, 1);
h = @(x, z) (x - z)' * A' * u + rho / 2 * norm(x - z)^2;

% 定义ADMM迭代过程
max_iter = 100;
tol = 1e-6;
for iter = 1:max_iter
    % 更新x
    x = (A' * A + rho * eye(2)) \ (A' * b + rho * (z - u));
    
    % 更新z
    z_old = z;
    z = shrinkage(x + u, 1/rho);
    
    % 更新u
    u = u + x - z;
    
    % 检查收敛性
    r = norm(x - z);
    s = norm(-rho * (z - z_old));
    if r < tol && s < tol
        break;
    end
end

% 输出结果
fprintf('Solution x = [%.2f, %.2f]\n', x(1), x(2));
fprintf('Objective value f(x) = %.2f\n', f(x));

% 定义收缩算子
function y = shrinkage(x, kappa)
    y = sign(x) .* max(abs(x) - kappa, 0);
end

在这个例子中，我们解决了一个线性回归问题，其中我们要将一个给定的向量b拟合到一个由系数矩阵A定义的线性模型中。我们使用ADMM算法来求解一个带有L1正则化项的最小二乘问题。我们的目标是最小化代价函数`f(x) = 0.5 * ||Ax - b||^2`，同时满足约束条件`g(z) = ||z||_1 <= t`，其中t是一个正的常数。

ADMM迭代的主要步骤包括：更新x，更新z，更新u，以及检查收敛性。在更新x时，我们使用线性方程求解器来求解一个最小二乘问题。在更新z时，我们使用了一个称为“收缩算子”的函数来实现L1正则化。在更新u时，我们简单地更新对偶变量。最后，我们检查了两个连续迭代之间的相对变化是否小于一个预定义的容差值，以确定算法是否已经收敛。

注意，这只是一个简单的例子，实际的ADMM算法可能需要更复杂的步骤和处理。此外，由于ADMM算法是求解凸优化问题的通用方法，因此可以将其应用于各种不同的问题。