交替方向乘子法 matlab
时间: 2023-07-13 22:09:18 浏览: 47
交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers,简称 ADMM)是一种用于求解带约束优化问题的迭代算法,它可以处理带线性约束和非光滑的目标函数的优化问题,特别适用于大规模问题或者分布在多个节点上的问题。
下面是使用 MATLAB 实现 ADMM 算法的一般步骤:
1. 定义问题的目标函数和约束条件。
2. 将带约束的优化问题转化为等价的无约束问题,例如使用 Lagrange 乘子法。
3. 将问题转化为 ADMM 的形式。具体来说,将原问题表示为两个子问题的求解:一个子问题是带约束的原问题,另一个子问题是在原问题的基础上加上额外的约束条件。这样,问题的求解就可以通过交替求解两个子问题来完成。
4. 对于每个子问题,使用迭代法求解。具体来说,使用一些常见的优化算法,如梯度下降法、牛顿法等求解。
5. 在每次迭代中,更新 Lagrange 乘子的值,以保证约束条件的满足。
6. 重复执行第 4 步和第 5 步,直到收敛。
下面是一个简单的 MATLAB 代码示例:
```matlab
% 定义问题的目标函数和约束条件
f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2; % 目标函数
h = @(x) x(1) + x(2) - 1; % 约束条件
% 使用 Lagrange 乘子法将带约束的优化问题转化为无约束问题
L = @(x,lambda) f(x) + lambda * h(x);
% 定义 ADMM 的参数
rho = 1; % 步长
max_iter = 1000; % 最大迭代次数
% 初始化变量和 Lagrange 乘子
x = [0;0];
lambda = 0;
% 迭代求解
for i = 1:max_iter
% 第一个子问题的求解,使用梯度下降法
x = x - rho * [2*x(1); 2*x(2)] - rho * lambda;
% 第二个子问题的求解,使用投影法
lambda = max(lambda + rho * (x(1) + x(2) - 1), 0);
% 更新 Lagrange 乘子
lambda = lambda + rho * (x(1) + x(2) - 1);
% 判断收敛
if norm([2*x(1); 2*x(2)] + lambda) < 1e-6
break;
end
end
% 输出结果
disp(['x = [' num2str(x(1)) ', ' num2str(x(2)) ']']);
disp(['lambda = ' num2str(lambda)]);
```