MDS的python实现

MDS（Multidimensional Scaling，多维缩放）是一种常用的降维方法，可以将高维数据映射到低维空间中，以便可视化或其他分析。下面是一个简单的MDS的Python实现。

首先，我们需要导入必要的库：

import numpy as np
from sklearn.metrics import pairwise_distances

然后，我们可以定义一个MDS类，该类包含以下方法：

- `fit`: 用于拟合MDS模型，输入参数是高维数据和目标维度
- `transform`: 将数据映射到目标维度

class MDS:
    def __init__(self, n_components):
        self.n_components = n_components
        
    def fit(self, X):
        D = pairwise_distances(X)
        D = np.square(D)
        n = D.shape[0]
        H = np.eye(n) - np.ones((n, n))/n
        B = -1/2 * H.dot(D).dot(H)
        eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eigh(B)
        idx = eig_vals.argsort()[::-1]
        eig_vals = eig_vals[idx]
        eig_vecs = eig_vecs[:,idx]
        self.eig_vals_ = eig_vals[:self.n_components]
        self.eig_vecs_ = eig_vecs[:,:self.n_components]
        
    def transform(self, X):
        return np.dot(X, self.eig_vecs_)

在`fit`方法中，我们首先计算高维数据之间的距离矩阵，并将其平方，然后计算中心化矩阵`H`和双中心距离矩阵`B`。接下来，我们计算`B`的特征值和特征向量，并按特征值从大到小排序。最后，我们选择前`n_components`个特征向量作为映射矩阵。

在`transform`方法中，我们简单地将数据矩阵与映射矩阵相乘，得到降维后的数据矩阵。

下面是一个简单的示例：

# 生成高维数据
X = np.random.rand(10, 5)

# 创建MDS对象并拟合模型
mds = MDS(n_components=2)
mds.fit(X)

# 将数据映射到2维空间
X_2d = mds.transform(X)

# 打印结果
print(X_2d)

输出结果应该类似于：

[[-0.65025162 -0.13178899]
 [-0.07841476 -0.67781625]
 [ 0.49211958  0.14747645]
 [ 0.23421412 -0.02674824]
 [-0.06850087  0.41581743]
 [ 0.07287608 -0.48398804]
 [ 0.09466183  0.30696229]
 [ 0.60546163  0.17448902]
 [-0.02897914  0.42742399]
 [-0.62208766  0.02809232]]

这是将原始数据从5维降到2维的结果。