设计一个计算器应用程序，用于进行简单的加减乘除四则运算。要求能够对输入的算式判断运算符优先级，允许在表达式中出现常用的数学函数，如绝对值、取整、三角函数、倒数、平方根、平方、立方等。

好的，这个计算器应用程序可以分为以下几个部分：

1. UI设计：需要设计一个简单易用的用户界面，让用户能够输入算式，并且看到计算结果。

2. 输入处理：程序需要处理用户输入的算式，判断运算符优先级，将其转换为计算机可识别的形式。

3. 运算实现：程序需要实现加减乘除四则运算、数学函数（绝对值、取整、三角函数、倒数、平方根、平方、立方等）等基本数学运算。

4. 输出结果：程序需要将计算结果显示在UI上，让用户能够看到。

下面是一个简单的实现思路：

1. UI设计：可以使用Python自带的tkinter库进行界面设计，包括一个文本框用于输入算式，一个按钮用于计算，以及一个标签用于显示结果。

2. 输入处理：读取用户输入的算式，并将其存储在一个字符串变量中。使用Python的eval()函数可以将字符串转换为可执行代码，并计算结果。在转换之前，需要对算式进行处理，将字符串中的数学函数转换为Python内置的数学函数。

3. 运算实现：针对不同的运算符和数学函数，编写相应的函数实现。例如，对于加减乘除四则运算，可以编写一个名为calculate的函数来实现；对于数学函数，可以编写名为abs、sin、cos、tan等函数来实现。

4. 输出结果：计算完成后，使用标签将结果显示在UI界面上。

下面是一个简单的Python代码实现：

import tkinter as tk
import math

def calculate():
    expression = entry.get()
    # 将数学函数转换为Python内置函数
    expression = expression.replace("abs", "math.fabs")
    expression = expression.replace("sin", "math.sin")
    expression = expression.replace("cos", "math.cos")
    expression = expression.replace("tan", "math.tan")
    expression = expression.replace("sqrt", "math.sqrt")
    expression = expression.replace("pow", "math.pow")
    expression = expression.replace("log", "math.log10")
    expression = expression.replace("ln", "math.log")

    result = eval(expression)
    label.config(text=result)

root = tk.Tk()
root.title("Calculator")

frame = tk.Frame(root)
frame.pack(padx=10, pady=10)

entry = tk.Entry(frame)
entry.pack(side=tk.LEFT)

button = tk.Button(frame, text="Calculate", command=calculate)
button.pack(side=tk.LEFT, padx=10)

label = tk.Label(root, text="")
label.pack()

root.mainloop()

这个程序可以实现基本的加减乘除四则运算，以及常用的数学函数。但是需要注意的是，eval()函数存在一定的安全隐患，容易受到恶意输入的攻击。因此，在实际应用中需要注意程序的安全性。