def numerical_gradient_2d(f, X): if X.ndim == 1: return _numerical_gradient_1d(f, X) else: grad = np.zeros_like(X) for idx, x in enumerate(X): grad[idx] = _numerical_gradient_1d(f, x) return grad

这是数值微分的另一个函数，用于求解二元函数在某一点的梯度。与一元函数不同，二元函数的梯度是一个向量，包含了函数在每个自变量上的偏导数。数值微分求解二元函数的梯度的方法与一元函数类似，只需对每个自变量分别进行数值微分，即可得到整个向量在该点处的梯度。

numerical_gradient_2d 函数实现了二元函数的数值微分，输入参数包括函数 f 和点 X，输出为函数在点 X 处的梯度。函数首先判断输入点 X 的维度，如果是一维向量则调用 _numerical_gradient_1d 函数求解一元函数的导数，如果是二维矩阵则对矩阵中的每个向量分别调用 _numerical_gradient_1d 函数求解二元函数在该向量上的梯度，最终得到整个矩阵在该点处的梯度。