二阶广义积分法正负序分离原理

二阶广义积分法正负序分离原理是指，对于一个二阶线性常微分方程，如果它的系数函数在某个区间上连续，且没有根号型奇点，那么可以通过将其变形为另一个形式，使得其中一个解是正序解，另一个解是负序解。

具体而言，假设二阶线性常微分方程为：

$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$

其中$p(x)$和$q(x)$在某个区间$[a,b]$上连续，且没有根号型奇点。则可以将其变形为：

$$\frac{d}{dx}\left[e^{P(x)}y'\right]+e^{P(x)}q(x)y=e^{P(x)}f(x)$$

其中$P(x)$是一个满足$P'(x)=p(x)$的函数。这个变形过程可以通过乘以一个积分因子$e^{P(x)}$得到。

然后，可以定义两个新的函数：

$$u(x)=e^{-\frac{1}{2}\int^x P(t)dt}$$

$$v(x)=e^{\frac{1}{2}\int^x P(t)dt}$$

则原方程的正序解$y_1(x)$和负序解$y_2(x)$可以表示为：

$$y_1(x)=u(x)\int^x v(t)f(t)dt$$

$$y_2(x)=v(x)\int^x u(t)f(t)dt$$

这里，正序解$y_1(x)$满足$y_1(a)=0$，$y_1'(a)=1$，负序解$y_2(x)$满足$y_2(a)=1$，$y_2'(a)=0$。

这就是二阶广义积分法正负序分离原理。