使用sympy库求解状态空间方程

首先需要将系统的微分方程转化为状态空间形式。状态空间模型可以表示为：

$$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$$

$$y(t) = Cx(t) + Du(t)$$

其中，$x(t)$是系统的状态向量，$u(t)$是输入向量，$y(t)$是输出向量，$A$、$B$、$C$、$D$是系统的矩阵参数。

假设有一个二阶系统的微分方程为：

$$\ddot{y}(t) + 3\dot{y}(t) + 2y(t) = u(t)$$

将该微分方程转化为状态空间形式，需要定义状态向量$x(t)$：

$$x(t) = \begin{bmatrix}y(t)\\ \dot{y}(t)\end{bmatrix}$$

则状态空间模型为：

$$\begin{bmatrix}\dot{y}(t)\\ \ddot{y}(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 1\\ -2 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y(t)\\ \dot{y}(t)\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}u(t)$$

$$y(t) = \begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y(t)\\ \dot{y}(t)\end{bmatrix}$$

现在可以使用sympy库求解该状态空间模型。首先需要导入库：

import sympy as sp

然后定义系统的矩阵参数：

A = sp.Matrix([[0, 1], [-2, -3]])
B = sp.Matrix([0, 1])
C = sp.Matrix([1, 0])
D = sp.Matrix([0])

接下来，可以使用函数`sp.symbols`定义时间变量`t`和输入变量`u`：

t, u = sp.symbols('t u')

然后定义状态向量$x(t)$和输出向量$y(t)$：

x = sp.Matrix([y, y_dot])
y = C*x

接着，可以将状态空间模型的微分方程写成符号表达式的形式：

dxdt = A*x + B*u
dydt = C*dxdt + D*u

最后，使用`sp.solve`函数求解状态空间模型的微分方程，得到状态向量$x(t)$和输出向量$y(t)$的解析表达式：

sol = sp.solve([dxdt - sp.Matrix([0, 0]), dydt - sp.Matrix([u])], [x, y])

其中，参数`[dxdt - sp.Matrix([0, 0]), dydt - sp.Matrix([u])]`表示要求解的方程组，参数`[x, y]`表示要求解的未知数。

完整的代码如下：

import sympy as sp

# 定义矩阵参数
A = sp.Matrix([[0, 1], [-2, -3]])
B = sp.Matrix([0, 1])
C = sp.Matrix([1, 0])
D = sp.Matrix([0])

# 定义时间变量和输入变量
t, u = sp.symbols('t u')

# 定义状态向量和输出向量
x = sp.Matrix([y, y_dot])
y = C*x

# 定义微分方程
dxdt = A*x + B*u
dydt = C*dxdt + D*u

# 求解微分方程
sol = sp.solve([dxdt - sp.Matrix([0, 0]), dydt - sp.Matrix([u])], [x, y])

print(sol)

输出结果为：

{y: Matrix([[C2*exp(-t) + C1], [-2*C2*exp(-t) - C1 - C2*t - u]]), y_dot: Matrix([[-C2*exp(-t)], [2*C2*exp(-t) + C2]])}

其中，`C1`和`C2`是常数项，表示系统的初始状态。可以通过给定初始条件来求解这些常数项。