MTALAB用步长自动减半的复化simpson公式积分法计算积分

MATLAB中可以使用以下代码使用步长自动减半的复化Simpson公式进行积分计算：

function [I,h] = composite_simpson(f,a,b,tol)
% f: 被积函数
% a,b: 积分区间
% tol: 目标误差
% I: 积分结果
% h: 最终步长

h = (b-a)/2;
x = a:h:b;
y = f(x);
I1 = h/3*(y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end));
while true
    h = h/2;
    x = a:h:b;
    y = f(x);
    I2 = h/3*(y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end));
    if abs(I2 - I1) < tol
        I = I2;
        break
    else
        I1 = I2;
    end
end
end

其中，`f`为被积函数，`a`和`b`为积分区间，`tol`为目标误差。函数返回`I`为积分结果，`h`为最终步长。在函数内部，首先使用初始步长计算一次积分，然后每次将步长减半，重新计算积分，直到满足目标误差为止。

相关问题

python编程用步长自动减半的复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式、Romberg积分法计算积分。自己设置不同精度要求,对结果进行比较分析。

好的，让我来逐个解答你的问题。

首先，我们来看复化梯形公式。复化梯形公式的基本形式如下：

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{h}{2}\left(f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)\right)
$$

其中，$h$ 表示每个小区间的长度，$x_i$ 表示小区间的中点，$n$ 表示小区间的个数。

步长自动减半的方法可以用以下代码实现：

def trapezoidal_rule(f, a, b, n, tol):
    h = (b-a)/n
    S = h*(f(a) + f(b))/2
    S_old = S + tol + 1
    while abs(S - S_old) > tol:
        S_old = S
        S = S/2
        for i in range(1, n):
            S += h*f(a + i*h)
            if i % 2 == 0:
                S += h*f(a + i*h)
        h /= 2
    return S

接下来，我们来看复化 Simpson 公式。复化 Simpson 公式的基本形式如下：

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{h}{3}\left(f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + 2\sum_{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i}) + f(b)\right)
$$

其中，$h$ 表示每个小区间的长度，$x_i$ 表示小区间的中点，$n$ 表示小区间的个数，$n$ 必须是偶数。

步长自动减半的方法可以用以下代码实现：

def simpson_rule(f, a, b, n, tol):
    h = (b-a)/n
    S = h*(f(a) + f(b))/3
    S_old = S + tol + 1
    while abs(S - S_old) > tol:
        S_old = S
        S = S/2
        for i in range(1, n):
            if i % 2 == 0:
                S += 2*h*f(a + i*h)
            else:
                S += 4*h*f(a + i*h)
        h /= 2
        n *= 2
    return S

接下来，我们来看复化 Cotes 公式。复化 Cotes 公式是一种基于多项式插值的数值积分方法，其基本形式如下：

$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x \approx \frac{b-a}{2880}\left(19f(a) + 75f\left(a + \frac{b-a}{4}\right) + 50f\left(a + \frac{b-a}{2}\right) + 75f\left(a + \frac{3(b-a)}{4}\right) + 19f(b)\right)
$$

其中，$b-a$ 必须是 $4$ 的倍数。

步长自动减半的方法可以用以下代码实现：

def cotes_rule(f, a, b, tol):
    n = 4
    h = (b-a)/n
    x = [a + i*h for i in range(n+1)]
    y = [f(x[i]) for i in range(n+1)]
    p = np.polyfit(x, y, n)
    S = np.polyint(p)(b) - np.polyint(p)(a)
    S_old = S + tol + 1
    while abs(S - S_old) > tol:
        S_old = S
        n *= 2
        h /= 2
        x = [a + i*h for i in range(n+1)]
        y = [f(x[i]) for i in range(n+1)]
        p = np.polyfit(x, y, n)
        S = np.polyint(p)(b) - np.polyint(p)(a)
    return S

最后，我们来看 Romberg 积分法。Romberg 积分法是一种递归的数值积分方法，其基本思想是不断迭代计算更高精度的数值积分，直到满足精度要求为止。

步长自动减半的方法可以用以下代码实现：

def romberg_rule(f, a, b, tol):
    R = np.zeros((20,20))
    h = b - a
    R[0,0] = h*(f(a) + f(b))/2
    for k in range(1,20):
        h /= 2
        R[k,0] = R[k-1,0]/2 + h*sum([f(a + i*h) for i in range(1,2**(k-1)+1)])
        for j in range(1,k+1):
            R[k,j] = (4**j*R[k,j-1] - R[k-1,j-1])/(4**j - 1)
        if abs(R[k,k] - R[k-1,k-1]) < tol:
            return R[k,k]
    return R[19,19]

以上就是四种数值积分方法的 Python 实现，你可以根据自己的需求设置不同的精度要求，对结果进行比较分析。

用matlab采用复化梯形公式、复化Simpson公式求积分

假设要求积分的函数为 $f(x)$，积分区间为 $[a,b]$，将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间，每个小区间的长度为 $h = \frac{b-a}{n}$，则有：

复化梯形公式：

$$
\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} [f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)]
$$

其中，$x_i = a + ih$。

复化Simpson公式：

当 $n$ 为偶数时，

$$
\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{3} [f(a) + 4\sum_{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i}) + 2\sum_{i=1}^{n/2} f(x_{2i-1}) + f(b)]
$$

其中，$x_i = a + ih$。

当 $n$ 为奇数时，可以先用复化梯形公式计算一次，然后用复化Simpson公式计算剩余部分。

下面是 MATLAB 代码实现：

复化梯形公式：

function I = trapezoid(f, a, b, n)
% 复化梯形公式求积分
% f：被积函数
% a：积分下限
% b：积分上限
% n：小区间数
h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
I = h / 2 * (f(a) + 2 * sum(f(x(2:end-1))) + f(b));
end

复化Simpson公式：

function I = simpson(f, a, b, n)
% 复化Simpson公式求积分
% f：被积函数
% a：积分下限
% b：积分上限
% n：小区间数，必须为偶数
if mod(n,2) ~= 0
    error('n必须为偶数');
end
h = (b - a) / n;
x = a:h:b;
I = h / 3 * (f(a) + 4 * sum(f(x(2:2:end-2))) + 2 * sum(f(x(3:2:end-1))) + f(b));
end