半线性分数阶拉普拉斯算子扩散方程的半隐格式误差分析
时间: 2023-07-24 12:22:02 浏览: 40
考虑半线性分数阶拉普拉斯算子扩散方程的半隐格式:
$$\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t}=D_{0+}^{\alpha/2}\Delta u+f(u),&x\in\Omega,t\in(0,T]\\u(x,0)=u_0(x),&x\in\Omega\end{cases}$$
其中,$D_{0+}^{\alpha/2}$是分数阶拉普拉斯算子,$f(u)$是非线性项,$\Omega$是空间域,$T$是计算时间。用半隐格式离散该方程,得到:
$$\begin{aligned}\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}&=D_{0+}^{\alpha/2}\Delta_h u_i^{n+1/2}+f(u_i^{n+1})\\&=\frac{1}{h^\alpha}\sum_{j\neq i}c_{i,j}\left(u_j^{n+1/2}-u_i^{n+1/2}\right)+f(u_i^{n+1})\end{aligned}$$
其中,$u_i^n$是离散后的解,$c_{i,j}$是权重系数。将上式改写为矩阵形式:
$$\frac{U^{n+1}-U^n}{\Delta t}=Au^{n+1/2}+F(U^{n+1})$$
其中,$U^n=(u_1^n,u_2^n,\cdots,u_N^n)$,$A$是稀疏对称矩阵,$F(U^{n+1})=[f(u_1^{n+1}),f(u_2^{n+1}),\cdots,f(u_N^{n+1})]$。用解析解$u(x,t)$作为准确解,记误差为$e_i^n=u_i^n-u(x_i,n\Delta t)$,则有:
$$\begin{aligned}\frac{e_i^{n+1}-e_i^n}{\Delta t}&=\frac{1}{h^\alpha}\sum_{j\neq i}c_{i,j}\left(e_j^{n+1/2}-e_i^{n+1/2}\right)+f'(u_i^{n+1})e_i^{n+1}+\frac{1}{2}f''(\xi_i^{n+1})e_i^{n+1}\\&=\frac{1}{h^\alpha}\sum_{j\neq i}c_{i,j}\left(e_j^{n+1/2}-e_i^{n+1/2}\right)+\left(f'(u(x_i,n\Delta t))+\frac{1}{2}f''(\xi_i^{n+1})\right)e_i^{n+1}+r_i^{n+1}\end{aligned}$$
其中,$r_i^{n+1}$是余项,$\xi_i^{n+1}$是介于$u_i^{n+1}$和$u(x_i,n\Delta t)$之间的某个值。将误差项改写为向量形式:
$$E^{n+1}=E^n+\Delta t\left(AE^{n+1/2}+F'(U^{n+1})E^{n+1}+\frac{1}{2}F''(\Xi^{n+1})E^{n+1}\right)+R^{n+1}$$
其中,$E^n=[e_1^n,e_2^n,\cdots,e_N^n]$,$F'(U^{n+1})$和$F''(\Xi^{n+1})$分别是$f'(u)$和$f''(\xi)$在$U^{n+1}$和$\Xi^{n+1}$处的对角矩阵,$R^{n+1}$是余项的向量形式。将$E^{n+1}$和$R^{n+1}$展开为泰勒级数,有:
$$\begin{aligned}E^{n+1}&=E^n+\Delta t\left(AE^{n+1/2}+F'(U^{n+1})E^{n+1}+\frac{1}{2}F''(\Xi^{n+1})E^{n+1}\right)+\sum_{k=2}^\infty\frac{(\Delta t)^k}{k!}\left(AE^{n+1/2}+F'(U^{n+1})E^{n+1}+\frac{1}{2}F''(\Xi^{n+1})E^{n+1}\right)^{(k)}+R^{n+1}\\&=E^n+\Delta t\left(AE^{n+1/2}+F'(U^{n+1})E^{n+1}+\frac{1}{2}F''(\Xi^{n+1})E^{n+1}\right)+\sum_{k=2}^\infty\frac{(\Delta t)^k}{k!}\left(AE^{n+1/2}\right)^{(k)}+\sum_{k=2}^\infty\frac{(\Delta t)^k}{k!}\left(F'(U^{n+1})E^{n+1}\right)^{(k)}+\sum_{k=2}^\infty\frac{(\Delta t)^k}{2k!}\left(F''(\Xi^{n+1})E^{n+1}\right)^{(k)}+R^{n+1}\end{aligned}$$
其中,$(\cdot)^{(k)}$表示对应的$k$阶导数。由于半隐格式是一阶格式,因此有$(AE^{n+1/2})^{(k)}=0$,$k\geq2$。又因为$F'(u)$和$F''(\xi)$是关于$u$的局部Lipschitz连续函数,因此有:
$$\left(F'(U^{n+1})E^{n+1}\right)^{(k)}=O(\|E^{n+1}\|)$$
$$\left(F''(\Xi^{n+1})E^{n+1}\right)^{(k)}=O(\|E^{n+1}\|)$$
将上式代入到误差方程中,得到:
$$\begin{aligned}\|E^{n+1}\|&\leq\|E^n\|+C_1\Delta t\|E^{n+1/2}\|+C_2\Delta t\|E^{n+1}\|+C_3\Delta t^2\|E^{n+1}\|+C_4(\Delta t)^2\\&\leq\|E^n\|+\left(C_1\Delta t+C_2\Delta t\right)\|E^{n+1}\|+\left(C_3\Delta t^2\|+\frac{C_4(\Delta t)^2}{\|E^{n+1}\|}\right)\|E^{n+1}\|+C_4(\Delta t)^2\end{aligned}$$
其中,$C_1,C_2,C_3,C_4$是常数。由于$E^{n+1}$是未知的,因此我们无法直接计算$\|E^{n+1}\|$。不过,我们可以通过估计$\|E^{n+1}\|$的上界来控制误差。将上式改写为:
$$\|E^{n+1}\|\leq\frac{1+C_1\Delta t+C_2\Delta t}{1-C_3\Delta t^2}\|E^n\|+\frac{C_4(\Delta t)^2}{1-C_3\Delta t^2}$$
假设$\|E^0\|\leq M$,则有:
$$\|E^n\|\leq\frac{1+C_1\Delta t+C_2\Delta t}{1-C_3\Delta t^2}\left(\frac{1+C_1\Delta t+C_2\Delta t}{1-C_3\Delta t^2}\right)^{n-1}M+\frac{C_4(\Delta t)^2}{1-C_3\Delta t^2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1+C_1\Delta t+C_2\Delta t}{1-C_3\Delta t^2}\right)^k$$
当$\Delta t$足够小时,上式右端第一项趋于0,第二项趋于常数。因此,当$\Delta t$足够小时,误差会随着时间步长的增加而稳定在一个常数水平上。
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