分数阶反应扩散方程组中同伦摄动Laplace变换解的影响

@ta¼@x1只猫@x（c）工程科学与技术，国际期刊20（2017）672完整文章分数阶微分方程的同伦摄动Laplace变换解非线性Lotka-Volterra型反应扩散方程组M.H. Tiwanaa，K.Maqboolb，A.B.Mannc，a巴基斯坦拉瓦尔品第，戈登学院政府研究生数学系b国际伊斯兰大学数学统计系，伊斯兰堡44000，巴基斯坦c巴基斯坦伊斯兰堡44000近零点G-7/1联邦乌尔都语艺术大学数学科学系阿提奇莱因福奥文章历史记录：2016年9月1日收到2016年10月12日修订2016年10月25日接受2016年11月14日在线发布A B S T R A C T研究了Lotka-Volterra型分数阶非线性反应扩散系统用同伦摄动变换法（HPTM）求解方程组和边界条件得到了FNRD系统在齐次和非齐次两种情况下的级数解。借助三维图形显示和讨论了分数参数对两种物质质量浓度的影响。©2016 Karabuk University. Elsevier B.V.的出版服务。这是CCBY-NC-ND许可证（http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/）。1. 介绍分数阶微分方程被广泛用于流体流动问题的建模。分数阶导数和分数阶旋度算子在数学生物学[1-最近，分数计算的一些重要和进一步的应用也发现了它在地震振荡[10，11]和植物元素的电阻抗中的应用，即，水果和蔬菜[12]。对反应扩散系统的持续关注源于这样一个事实，即具有可变扩散率的此类系统推广了许多在现代科学和研究问题中广泛使用的非线性模型作为一种特殊情况，反应扩散系统对应于一个Lotka-Volterra型的两种群扩散系统[14，15]。本文考虑具有变扩散系数的分数阶非线性反应扩散系统近年来分数阶模型在数学生物学中受到了广泛的关注。Ozalp[16]研究了使用横向传输的分数阶SEIR模型。Kou等人[17]分析了HIV模型的分数阶差分方程。Mal- mivuo和Plonsey[18]计算了生物系统产生的分数动力学模型。求解分数阶非线性微分方程的精确解是一个困难的问题。在文献[19同伦摄动法已被用来求解非线性分数阶微分方程。求解这种方程的另一种方法是将各种方法与拉普拉斯变换方法相结合，Adomian分解变换法（ADTM）[28]、同伦变换法（DTM）[29]、同伦分析变换法（HATM）[30]和同伦扰动变换法（HPTM）[31]。讨论了求解Lotka-Volterra型分数阶非线性反应扩散方程组的（HPTM）算法的实现.用HPTM方法得到了级数形式的解析解对于不同的情况，也得到了图解结果分数参数的不同值。 的正确性@au@。Du @uF UV当分数阶导数为被普通衍生品取代@av@。@v@ta¼@xD2u@x*通讯作者。0; 0>;- 四分之一¼且uiii1;2;. . . . . andvi . **n¼Ca-1Ca1Ca-1Ca¼：;¼：¼：对于不同的a值，t增加。它表明，对于><>：通过增加homo的分数参数a来减小，Lotka-Volterra类型的均匀系统，而对于非均匀系统，b1un- 1-muu0n-1-mu0mun-1-mu0m0>;3B的t00¼C温度范围a-1 ℃t0-þ3Bt0-布2 -b0ΣXÞ采用逆拉普拉斯变换并应用HPM，方程：2223产量和X1X1vta-1“4 c1 .2c1阿法辛。rbx！#d2taux;tn¼0pn nnx;t和vx;t一n¼0pnvnx;t;0¼C温度a-1℃/0℃B þ/0人b2-b0Cð31ÞXn01pn ut-1f xtadβpL-1“1L（a1XnpnnXpnHnu0;u1;u2;.. . ;un）#;28，解可以写成san¼0n¼0n¼0ulimX1pnuð23Þ1/4便士！1n;n¼0ð32Þ和1v 1/4limmX1pnv：pnvn¼n¼0ta-1Ca-1不是fxCad1p！1nn¼0n=1-1L（aX1pnvv;v;v;. .. ;v）#：4. 数值结果及讨论是一个 2n¼0n2n¼0nn¼0n012nð24Þ在这一节中，方程的解的图形结果 31通过图31示出。 1 -7为各种A。这些数字表明为了得到解，我们将比较p0，p1，p2的不同幂，截断到第五项的近似解的性质本文给出了HPTM对齐次和非齐次反应扩散方程组所得到的级数的一个推广，8u0¼ta-1 f=1;Ca-1Ca02 07和09。从图中可以看出。 1-3 这：v0½g/mL×2mL;两种物质ux;t和vx;t的质量浓度均降低（u1¼L-11Lfa1u0c1v0H0u0g;是一非线性分数阶反应扩散方程的齐次情形p1：saΣð26Þ两种物质的质量浓度都在衰减。 图第4-6页和v1¼L-11Lfa1v0c1u0H0v0g;显示案例2的结果值得注意的是，ux;t随着时间t而增长，828a u cv随时间t衰减，非齐次项作用>><1n-11n-1作为生长第一物质浓度的源 图 7，8描绘>1/4L-164s-1Lpn ：n-175;这两种物质的质量浓度>28>a2vn-1c2un-19>3两种物质的非均质系统质量浓度都在衰减>vn¼L-164s-aLXn-1=75：：>>：每平方米b2vn-1-mvmv0n-1-mv0mvn-1-mv0m0ð27Þ表1Lotka-齐次分数阶非线性扩散方程组的残差案例：1. Lotka-Volterra型对于1/3 c1;/0/41。2-6磅，c1¼1;b1¼b2¼b;c2¼ - 1;a2¼沃尔泰拉在1/4 0：9时打字。a16c1;d1d20，Lotka-Volterra类型系统将采用uta-1“一声。2六尺。1.一、26千 2百万。rbx！#0¼C温度a-1003b和t0-103bt0-βb2-b0ð28Þvta-1“一声。23B六尺。1.一、26Σ2. rbx！#表2ð29Þi1;2;. ...... 这是什么？. . andvi . ** 28岁。a-1at tXp0：ð25Þ每平方米：111=>>最大值X使用剩余误差v的残差00.01186790.009867390.10.01185060.009952410.20.01182380.01003480.30.01178790.01011370.40.01174310.01018830.50.011690.01025810.60.01162910.01032240.70.01156090.01038060.80.01148610.01043220.90.01140560.0104771.00.01132010.0105144676M.H. Tiwana等人/工程科学与技术，国际期刊20（2017）672H.吉吉-1：2;/0¼1 j3c1-a1j tanhj3c1-a1jt0- a13c1，第零个案例：2.非均匀分数阶非线性扩散研究了Lotkta-Volterra型齐次分数阶非线性扩散方程组在1/4 0：9时的残差.Lotka Volterra型对于a13b2命令的形式ta-1“。2cB.rb2！#dtaþu0¼ Ca-1/0分/01cosx-b01Cað30ÞX使用剩余误差v的残差0.10.05808820.02510020.20.0578070.02501560.30.05701130.02494730.40.05571330.02489660.50.05393230.02486430.60.0516950.02485120.70.04903490.02485070.80.04599190.02483410.90.04261160.02473021.00.03894460.0247056M.H. Tiwana等人/工程科学与技术，国际期刊20（2017）672677情况1：对于均质（FNRD）系统，a1¼3c1 μ m。Fig. 1.分数参数对a= 0.2时u（x，t）和v（x，t）两组分质量浓度的影响。图二. 分数参数对1/40： 7时两种物质u（x，t）和v（x，t）质量浓度的影响。图三.分数参数对1/40： 9时两种物质u（x，t）和v（x，t）质量浓度的影响。678M.H. Tiwana等人/工程科学与技术，国际期刊20（2017）672情形2：对于非齐次（FRND）系统，a13c1n。见图4。分数参数对1/40： 2时两种物质u（x，t）和v（x，t）质量浓度的影响。图五.分数参数对1/40： 7时两种物质u（x，t）和v（x，t）质量浓度的影响。见图6。分数参数对1/40： 9时两种物质u（x，t）和v（x，t）质量浓度的影响。M.H. Tiwana等人/工程科学与技术，国际期刊20（2017）672679¼ðÞ¼见图7。 分数参数对两种物质u（x，t）和v（x，t）（x = 1）质量浓度的影响。当a 1/43 c 1.见图8。 分数参数对两种物质u（x，t）和v（x，t）（x = 1）质量浓度的影响。当a 1 - 3 c 1.分数参数a。当α为1时，FNRD系统退化为一般的非线性分数阶扩散系统，我们的结果与文献[15]的精确解相符。表1和表2给出了LotkaVolterra型齐次和非齐次分数阶扩散方程组的残差。可以看出，我们的近似解是收敛的，并且通过增加迭代次数可以使残差最小化5. 结论● 对于不同的a值，两种物质的质量浓度均随t的增加而减小。● 质量浓度ux; t随着时间t而增长，而质量浓度vx;t随着时间t而衰减。非齐次项作为第一种物质浓度增长的来源。● 对于Lotka-Volterra型的均相和非均相系统，随着分数参数α的增大，两种物质的质量浓度均减小● FNRD方程组在a1时退化为一般的非线性分数阶扩散方程组，所得结果与精确解相符。引用[1] L. Sörnmo，P. Laguna，《心脏和神经应用中的生物电信号处理》，学术出版社，卷。 1（2005年）。[2] S.R. 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