创作一个关于奇异摄动的工程实例代码

以下是一个使用奇异摄动方法求解线性方程组的工程实例代码：

import numpy as np

# 定义一个带有奇异摄动的线性方程组求解器
class SingularPerturbationSolver:
    
    def __init__(self, A, b, epsilon):
        self.A = A
        self.b = b
        self.epsilon = epsilon
        
    def solve(self):
        n = len(self.A)
        A_hat = self.A - np.eye(n) * self.epsilon
        b_hat = self.b + np.dot(self.A, np.ones(n)) * self.epsilon
        
        # 使用LU分解求解方程组
        L, U = self.__lu_decomposition(A_hat)
        y = self.__forward_substitution(L, b_hat)
        x = self.__backward_substitution(U, y)
        
        return x
    
    def __lu_decomposition(self, A):
        n = len(A)
        L = np.eye(n)
        U = A.copy()
        
        for k in range(n-1):
            for i in range(k+1, n):
                L[i, k] = U[i, k] / U[k, k]
                U[i, k:] = U[i, k:] - L[i, k] * U[k, k:]
                
        return L, U
    
    def __forward_substitution(self, L, b):
        n = len(L)
        y = np.zeros(n)
        
        for i in range(n):
            y[i] = (b[i] - np.dot(L[i, :i], y[:i])) / L[i, i]
            
        return y
    
    def __backward_substitution(self, U, y):
        n = len(U)
        x = np.zeros(n)
        
        for i in range(n-1, -1, -1):
            x[i] = (y[i] - np.dot(U[i, i+1:], x[i+1:])) / U[i, i]
            
        return x

这个类可以用于解决形如 Ax=b 的线性方程组，其中A是一个n行n列的矩阵，b是一个n维向量，epsilon是一个小正数，用于控制奇异摄动的强度。在solve方法中，我们首先对A进行奇异摄动，然后使用LU分解求解方程组。其中，__lu_decomposition、__forward_substitution和__backward_substitution分别用于进行LU分解、前向代入和后向代入。这个类可以用于求解一般的线性方程组，但是对于某些特殊的问题，如矩阵A的条件数非常大时，可能会出现精度问题，需要对代码进行进一步优化。