菲克定律建立的微分方程怎么求解

菲克定律描述了物质在浓度梯度作用下的扩散过程，可以表示为以下的微分方程：

$$\frac{\partial c}{\partial t} = D \frac{\partial^2 c}{\partial x^2}$$

其中，$c$ 表示物质的浓度，$D$ 表示扩散系数。

由于这是一个二阶偏微分方程，可以采用分离变量法来求解。假设 $c$ 可以分解为时间和空间两个变量的乘积，即 $c(x,t)=X(x)T(t)$，则原方程可以化为：

$$\frac{1}{DT}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2}=-\lambda^2$$

其中，$\lambda$ 是常数。对于时间部分，可以得到：

$$T(t)=T_0e^{-\lambda^2Dt}$$

对于空间部分，可以得到：

$$X(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)$$

由于要求解的是一个无限长的区域，因此可以将 $X(0)=X(L)=0$ 代入，得到：

$$X(x)=B\sin\frac{n\pi x}{L}$$

其中，$n$ 是正整数。将时间和空间部分乘起来，得到最终的解为：

$$c(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}C_ne^{-\frac{n^2\pi^2 D}{L^2}t}\sin\frac{n\pi x}{L}$$

其中，$C_n$ 是待定系数。根据初值条件可以求解出 $C_n$ 的值，从而得到具体的解析解。