YOLOv3损失函数优化

YOLOv3使用的损失函数是多阶段的，包括三个部分：objectness损失、分类损失和框回归损失。

1. Objectness损失

这个损失函数是用来判断一个网格单元是否有物体存在的，也就是判断$y^{obj}_i$是否为1。实际上，YOLOv3利用了置信度来衡量物体的存在概率，而置信度是由objectness和分类概率的乘积所得的。objectness损失函数只关心网格单元是否有物体存在，而不关心具体是什么物体。其公式为：

$$\lambda_{obj}\sum^{S^2}_{i=0}\sum^{B}_{j=0} \textbf{1}_{ij}^{obj}(IOU_{ij}^{true}-\sigma(\textbf{x}_{ij}))^2$$

其中，$S^2$是特征图的大小，$B$是每个网格单元预测的矩形框数，$y_{ij}^{obj}$表示第$i$个网格单元的第$j$个矩形框中是否存在物体。$IOU_{ij}^{true}$是真实框与预测框的IOU，$\sigma(\textbf{x}_{ij})$表示预测框中是否存在物体的概率。$\textbf{1}_{ij}^{obj}$是一个指示函数，当$y_{ij}^{obj}=1$时，其值为1；否则为0。

2. 分类损失

如果该矩形框中存在物体，则需要计算分类损失，其公式为：

$$\lambda_{class}\sum^{S^2}_{i=0}\sum^{B}_{j=0}\textbf{1}_{ij}^{obj}\sum^{C}_{c=0}(y_{ij}^{c}-\hat{y}_{ij}^{c})^2$$

其中，$C$是类别数，$y_{ij}^c$表示矩形框$j$中是否属于类别$c$，$\hat{y}_{ij}^c$是预测框中类别$c$的概率。$\textbf{1}_{ij}^{obj}$是前面介绍的指示函数，如果预测框中没有物体，那么分类损失就会被自动设为0。

3. 框回归损失

如果该矩形框中存在物体，还需要计算框回归损失。因为YOLOv3每个网格单元都会预测多个矩形框，所以框回归损失是对每个矩形框都需计算的：

$$\lambda_{coord}\sum^{S^2}_{i=0}\sum^{B}_{j=0}\textbf{1}_{ij}^{obj}\left[(x_{ij}-\hat{x}_{ij})^2+(y_{ij}-\hat{y}_{ij})^2\right]$$$$+\lambda_{coord}\sum^{S^2}_{i=0}\sum^{B}_{j=0}\textbf{1}_{ij}^{obj}\left[(\sqrt{w_{ij}}-\sqrt{\hat{w}_{ij}})^2+(\sqrt{h_{ij}}-\sqrt{\hat{h}_{ij}})^2\right]$$

其中，$x_{ij}$、$y_{ij}$、$w_{ij}$和$h_{ij}$分别是矩形框$j$的中心坐标、宽度和高度。$\hat{x}_{ij}$、$\hat{y}_{ij}$、$\hat{w}_{ij}$和$\hat{h}_{ij}$是预测框中相应的值。$w$和$h$使用的是平方根尺度，是为了“平衡”宽度和高度的影响。