设一段文本中包含字符{a, b, c, d, e}，其出现频率相应为{3, 2, 5, 1, 6}。则经过哈夫曼编码后，报文总长度为（ ）

根据哈夫曼编码的原理，出现频率越高的字符编码长度越短。我们可以先构造出哈夫曼树，然后计算编码长度再求和。

首先将字符和频率放入一个小根堆中，每次从堆中弹出两个频率最小的节点，合并成一个新节点，并将其频率设置为两个子节点频率之和。将新节点插入堆中，重复以上步骤直到堆中只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。

构造出的哈夫曼树如下所示：

       23
     /    \
    9      14
   / \     / \
  4   5   6   8
 /     \     / \
d(1)   e(6) c(5) ab
       (2)   (3)

其中数字表示节点的频率，括号中的字母表示字符，ab 表示合并后的节点，其频率为子节点频率之和。

我们可以通过从根节点到叶子节点的路径来构造编码，将左子树路径上的节点编码为 0，右子树路径上的节点编码为 1，最终得到的编码如下：

a: 11
b: 10
c: 01
d: 001
e: 000

可以看出，经过哈夫曼编码后，文本中每个字符的编码长度分别为：

a: 2
b: 2
c: 2
d: 3
e: 3

报文总长度为：

3*2 + 2*2 + 5*2 + 1*3 + 6*3 = 3 + 4 + 10 + 3 + 18 = 38

因此，报文总长度为 38。

相关问题

设一段文本中包含字符{a, b, c, d, e}，其出现频率相应为{3, 2, 5, 1, 1}。则经过哈夫曼编码后

的平均编码长度是多少？

根据哈夫曼编码的原理，出现频率高的字符被赋予较短的编码，出现频率低的字符被赋予较长的编码。因此，我们需要先计算出每个字符的编码长度，然后再求出平均编码长度。

首先构建出哈夫曼树，如下图所示：


根据哈夫曼树可以得到每个字符的编码：

a: 000
b: 01
c: 1
d: 0010
e: 0011

每个字符的编码长度分别为3、2、1、4、4，因此平均编码长度为：

(3 * 3 + 2 * 2 + 5 * 1 + 1 * 4 + 1 * 4) / 12 = 2.08

因此，经过哈夫曼编码后的平均编码长度为2.08。

设一段文本中包含字符{a, b, c, d, e}，其出现频率相应为{3, 2, 5, 1, 1}。则经过哈夫曼编码后，文本所占字节数为

### 回答1：
根据哈夫曼编码的原理，出现频率越高的字符，其对应的编码长度越短。因此，我们可以先将出现频率从小到大排序，得到{d, e, b, a, c}对应的频率为{1, 1, 2, 3, 5}。

接下来，我们可以构建哈夫曼树，将频率较小的字符作为叶子节点，频率较大的字符作为非叶子节点。具体构建过程如下：

1. 将所有字符节点按照频率从小到大排序，得到节点集合{d, e, b, a, c}。

2. 从节点集合中选取频率最小的两个节点，将它们合并成一个新的节点，其频率为两个节点的频率之和。将新节点加入节点集合中。

3. 重复步骤2，直到节点集合中只剩下一个节点，即为哈夫曼树的根节点。

构建出的哈夫曼树如下图所示：

      13
     /  \
    6    7
   / \   / \
  3   3 2   5
 / \  
1   2 

根据哈夫曼编码的规则，从根节点开始，向左走为，向右走为1，得到每个字符对应的编码：

d: 00
e: 01
b: 10
a: 110
c: 111

因此，原始文本中的每个字符所占的位数为：

d: 1位
e: 1位
b: 2位
a: 3位
c: 3位

将每个字符所占的位数相加，得到文本所占的总位数为：

1 x 1 + 1 x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 3 x 5 = 28

由于每个字节占8位，因此文本所占的字节数为：

28 / 8 = 3.5

即文本所占字节数为3或4，具体取决于编码的实现方式。

### 回答2：
哈夫曼编码是一种基于字符频率的编码方法，旨在使文本所占字节数最小。因此，我们可以利用给定频率计算出相应的哈夫曼编码，从而得出文本所占字节数。

首先，我们需要按照字符频率构建出哈夫曼树。步骤如下：

1. 将所有字符以及其出现频率作为叶子节点，构建出一棵树；
2. 每次选择两个权值最小的节点，将它们合并为一个新的节点，并以合并后的节点作为子节点继续构建树，直到所有节点都被合并为一棵树；
3. 在构建过程中，左子树编码为0，右子树编码为1。

根据上面的步骤，我们可以构建得到下面的哈夫曼树：

      [16]
      /  \
     /    \
    /      \
  [11]     [5]
   / \      / \
 [5] [6] [2] [3]

其中，每个节点的值代表它子树中所有叶子节点的频率之和。例如，左下角的节点[5]表示字符d和e的出现频率之和。

接下来，我们可以根据哈夫曼树构建出字符的编码。从根节点开始，每次遇到左子树加'0'，遇到右子树加'1'，最终得到每个字符的编码：

a: 0
b: 10
c: 11
d: 100
e: 101

可以看到，出现频率较高的字符编码较短，而出现频率较低的字符编码较长，这正是哈夫曼编码的优点所在。

最后，我们可以通过将每个字符的编码拼接起来计算文本所占字节数。按照上面的编码结果，如果原文本为"acccbbaacdec"，经过哈夫曼编码后所占字节数为：

a: 0
c: 11
c: 11
c: 11
b: 10
b: 10
a: 0
a: 0
c: 11
d: 100
e: 101
c: 11

将上面的编码拼接起来得到：

0111110001011000110

这个二进制串共有19位，也就是2.375个字节。因此，经过哈夫曼编码后，文本所占字节数为2.

### 回答3：
哈夫曼编码是一种将字符转换为不同长度二进制码的编码方法，以达到压缩文件的目的。在给定字符出现频率的情况下，哈夫曼编码可以用来生成最小位数的编码。

首先，按照出现频率从小到大将字符排列：d，e，b，a，c。对于相邻的两个字符，将它们的频率相加，得到新的频率，然后重新排序。重复这个过程，直到只剩下一个频率。这个过程被称为“哈夫曼树的构建”。

构建完成后，每一个字符就有了一颗唯一的二叉树，其中每一个左孩子子结点表示一个“0”，每一个右孩子子结点表示一个“1”。对于文本中的每个字符，从哈夫曼树的根节点出发，按照二进制码的规则遍历找到对应的叶子结点，记录下该字符的哈夫曼编码。最终，将所有字符的哈夫曼编码拼在一起，就得到了整个文本的压缩后的代码。

根据出现频率{3， 2， 5， 1， 1}构建哈夫曼树可以得到如下结构：

12
/ \
5 7
/ \ / \
d e b ac
/ \
a c

其中每个字符对应的哈夫曼编码为：

a：111

b：01

c：00

d：110

e：10

因此，原文本所占字节数为：

3*3+2*2+5*2+1*3+1*3=26

经过哈夫曼编码后所占字节数为：

3*1+2*2+5*2+1*3+1*3=22

可以看出，相比原文本的26个字节，经过哈夫曼编码后所占字节数已经得到一定的压缩。