展示正、余弦信号的抽样与重构

正弦信号的抽样与重构：

假设原始信号为 $x(t) = A\sin(2\pi f t)$，对其进行抽样，得到抽样序列 $x[n] = A\sin(2\pi f nT_s)$，其中 $T_s$ 为采样周期，$n$ 为整数。

对于正弦信号，其频谱是连续的，因此需要将其离散化，得到频谱序列 $X[k]$，其中 $k$ 为整数。根据采样定理，要保证恢复信号，需要满足 $f_s > 2f$，即采样频率应大于原始信号的最高频率分量。因此，可以选择采样频率为 $f_s = 10f$。

对于离散信号，其频谱是周期性的，且周期为采样频率。因此，可以将频谱序列 $X[k]$ 按照周期重复，得到连续的频谱函数 $X(f)$。根据采样定理，每个周期内包含了完整的频谱信息，因此只需要考虑一个周期内的频谱即可。

根据采样定理，每个周期内最多包含 $N/2$ 个频率分量，其中 $N$ 为采样点数。因此，可以选择 $N = 20$，得到频率分辨率为 $f_s/N = 0.5f$。

对于正弦信号，其频谱是对称的，因此只需要考虑正频率分量。根据傅里叶变换的定义，可以得到频谱函数 $X(f)$：

$$
X(f) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi fnT_s}
= \sum_{n=0}^{N-1} A\sin(2\pi f nT_s) e^{-j2\pi fnT_s}
$$

化简上式，得到：

$$
X(f) = \frac{AN}{2j} \left[\delta(f-f_0) - \delta(f+f_0)\right]
$$

其中 $f_0 = \frac{f_s}{N}$ 为正频率分辨率，$\delta(f)$ 表示单位冲激函数。因此，可以得到频谱函数 $X(f)$ 如下图所示：


根据采样定理，可以通过插值恢复原始信号。由于正弦信号的频谱是对称的，因此只需要恢复正频率分量。根据插值定理，可以使用最近邻插值或线性插值进行恢复。这里使用线性插值进行恢复。

对于线性插值，假设重构信号为 $y(t)$，则有：

$$
y(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n] \text{sinc}(\frac{t-nT_s}{T_s})
$$

其中 $\text{sinc}(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ 表示采样函数。将采样序列 $x[n]$ 代入上式，得到：

$$
y(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} A\sin(2\pi f nT_s) \text{sinc}(\frac{t-nT_s}{T_s})
$$

化简上式，得到：

$$
y(t) = A\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\sin[2\pi f (t-nT_s)]}{2\pi f (t-nT_s)}
$$

因此，可以通过上式进行重构。下面是使用线性插值重构正弦信号的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始信号参数
A = 1  # 振幅
f = 1  # 频率

# 采样参数
fs = 10 * f  # 采样频率
Ts = 1 / fs  # 采样周期
N = 20  # 采样点数

# 生成采样序列
n = np.arange(N)
x = A * np.sin(2 * np.pi * f * n * Ts)

# 计算频谱
f0 = fs / N  # 正频率分辨率
k = np.arange(N // 2)
X = A * N / (2j) * (np.exp(-1j * 2 * np.pi * k * f * Ts) - np.exp(1j * 2 * np.pi * k * f * Ts))

# 线性插值重构信号
t = np.linspace(0, (N-1)*Ts, 1000)  # 重构时间序列
y = np.zeros_like(t)
for i in range(len(t)):
    for j in range(N):
        if abs(t[i]-j*Ts) < Ts/2:
            y[i] += x[j] * (1 - abs(t[i]-j*Ts)/Ts)
            
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(12, 4))

# 绘制原始信号
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.plot(t, A * np.sin(2 * np.pi * f * t))
plt.title('Original Signal')

# 绘制采样信号
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.stem(n * Ts, x, use_line_collection=True)
plt.title('Sampled Signal')

# 绘制重构信号
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.plot(t, y.real)
plt.title('Reconstructed Signal')

plt.tight_layout()
plt.show()

运行上述代码，可以得到如下图所示的结果：


可以看出，使用线性插值可以将离散的采样序列恢复成连续的原始信号。

余弦信号的抽样与重构：

余弦信号的抽样与重构与正弦信号类似，只是在频谱上有所不同。对于余弦信号 $x(t) = A\cos(2\pi f t)$，其频谱为：

$$
X(f) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi fnT_s}
= \sum_{n=0}^{N-1} A\cos(2\pi f nT_s) e^{-j2\pi fnT_s}
$$

化简上式，得到：

$$
X(f) = \frac{AN}{2} \left[\delta(f-f_0) + \delta(f+f_0)\right]
$$

其中 $f_0 = \frac{f_s}{N}$ 为正频率分辨率。因此，余弦信号的频谱仅包含正、负频率分量，且幅度相等。在重构时，需要将这两个分量合并成一个。

下面是使用线性插值重构余弦信号的代码，与正弦信号的代码类似：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始信号参数
A = 1  # 振幅
f = 1  # 频率

# 采样参数
fs = 10 * f  # 采样频率
Ts = 1 / fs  # 采样周期
N = 20  # 采样点数

# 生成采样序列
n = np.arange(N)
x = A * np.cos(2 * np.pi * f * n * Ts)

# 计算频谱
f0 = fs / N  # 正频率分辨率
k = np.arange(N // 2)
X = A * N / 2 * (np.exp(-1j * 2 * np.pi * k * f * Ts) + np.exp(1j * 2 * np.pi * k * f * Ts))

# 合并正、负频率分量
X[0] = X[0].real
X[-1] = X[-1].real
X = np.concatenate((X[:N//2], np.flip(X[:N//2])))

# 线性插值重构信号
t = np.linspace(0, (N-1)*Ts, 1000)  # 重构时间序列
y = np.zeros_like(t)
for i in range(len(t)):
    for j in range(N):
        if abs(t[i]-j*Ts) < Ts/2:
            y[i] += x[j] * (1 - abs(t[i]-j*Ts)/Ts)
            
# 绘制图形
plt.figure(figsize=(12, 4))

# 绘制原始信号
plt.subplot(1, 3, 1)
plt.plot(t, A * np.cos(2 * np.pi * f * t))
plt.title('Original Signal')

# 绘制采样信号
plt.subplot(1, 3, 2)
plt.stem(n * Ts, x, use_line_collection=True)
plt.title('Sampled Signal')

# 绘制重构信号
plt.subplot(1, 3, 3)
plt.plot(t, y.real)
plt.title('Reconstructed Signal')

plt.tight_layout()
plt.show()

运行上述代码，可以得到如下图所示的结果：


可以看出，使用线性插值可以将离散的采样序列恢复成连续的原始信号。注意，在重构时需要将正、负频率分量合并成一个。