matlab已知矩阵X，求(X^TX)^(-1)

可以使用MATLAB中的inv函数求矩阵的逆。因为X^TX是一个方阵，所以可以直接用inv函数求逆。

具体代码如下：

X = [1 2; 3 4; 5 6];
inv(X'*X)

其中，X是一个3行2列的矩阵，X'表示X的转置，X'*X表示X的转置与X相乘，inv函数对这个结果求逆，得到(X^TX)^(-1)的值。

相关问题

求b+Ax的最小二范数，其中b为已知向量，A为6*3的已知矩阵，x为未知向量，且x的模小于a,a为常数，请给出matlab代码

下面是求解过程及matlab代码：

假设b和A已知，令

\begin{aligned}f(x)&=\|b-Ax\|_2^2 \\&=(b-Ax)^T(b-Ax) \\&=b^Tb-2b^TAx+x^TA^TAx \\&=c-2d^Tx+x^TBx\end{aligned}

其中，$c=b^Tb$，$d=A^Tb$，$B=A^TA$。

由于$x$的模小于$a$，可以将问题转化为

\begin{aligned}\min\quad &f(x) \\ \text{s.t.}\quad &\|x\|_2^2\leq a^2\end{aligned}

为了消去约束条件，使用拉格朗日乘子法，将目标函数改为

$$f(x)+\lambda\cdot(\|x\|_2^2-a^2)$$

其中，$\lambda$为拉格朗日乘子。

令 $g(x)=f(x)+\lambda\cdot(\|x\|_2^2-a^2)$，将$g(x)$对$x$求偏导数，并令其为零，

$$\dfrac{\partial g(x)}{\partial x}=2Bx-2d+2\lambda x=0$$

化简可得

$$Bx=d-\lambda x$$

解得

$$x=(B+\lambda I)^{-1}d$$

将$x$代入原公式中，得到

$$\|b-Ax\|_2=\sqrt{c-d^T(B+\lambda I)^{-1}d}$$

由于$\|x\|_2^2\leq a^2$，所以根据KKT条件，$\lambda\geq0$。

因此，可以使用MATLAB内置函数`fmincon`来求解。

MATLAB代码如下：

function [x, fval] = min_l2_norm(b, A, a)
    B = A' * A;
    d = A' * b;
    fun = @(x)(b - A * x)' * (b - A * x);
    x0 = zeros(size(A, 2), 1);
    Aeq = [];
    beq = [];
    lb = -a * ones(size(A, 2), 1);
    ub = a * ones(size(A, 2), 1);
    nonlcon = [];
    options = optimoptions(@fmincon, 'Algorithm', 'interior-point', 'Display', 'off');
    [x, fval] = fmincon(fun, x0, [], [], Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options);
end

其中，`b`为向量，`A`为矩阵，`a`为常数。函数返回两个变量。`x`为最小二范数对应的解，`fval`为最小二范数的值。

已知平面3连杆机械臂的最后一根连杆的末端的坐标系与基座标系间的齐次变换矩阵为T_endtobase；连杆1、2、3的长度分别为4、3、2。基座标系（base）建立在关节0上面，关节1与关节0重合坐标都是（0，0，0），即在关节1上建立的坐标系1刚好与基座标系重合。关节1连接出来的是连杆1；连杆1末端与连杆2的起始端由关节2衔接；连杆2的末端与连杆3的起始端由关节3连接；连杆3的末端建立坐标系end，坐标系end与关节3上建立的坐标系3姿态相同，相当于坐标系end是由坐标系3沿着坐标系3的x方向平移了连杆3的长的得到的。请根据已知条件编写一个MATLAB程序求解平面3R机器人的全部姿态逆运动学解（即求出所有可能的多重解）

首先，我们需要确定各个连杆的DH参数，如下所示：

| i | alpha(i-1) | a(i-1) | d(i) | theta(i) |
| :---: | :------------: | :--------: | :------: | :----------: |
| 1 | 0 | 4 | 0 | theta(1) |
| 2 | 0 | 3 | 0 | theta(2) |
| 3 | 0 | 2 | 0 | theta(3) |

接下来，我们需要根据DH参数计算正运动学，即从关节角度求解末端执行器的位置和姿态。我们可以使用以下公式：

T = Rz(theta1) * Tz(d1) * Tx(a1) * Rx(alpha1) * Rz(theta2) * Tz(d2) * Tx(a2) * Rx(alpha2) * Rz(theta3) * Tz(d3) * Tx(a3) * Rx(alpha3)

其中，Rz表示绕z轴旋转，Rx表示绕x轴旋转，Tz表示沿z轴平移，Tx表示沿x轴平移。

根据题目中给出的信息，可以得到：

T_endtobase = Rz(theta1) * Tz(d1) * Tx(a1) * Rx(alpha1) * Rz(theta2) * Tz(d2) * Tx(a2) * Rx(alpha2) * Rz(theta3) * Tz(d3) * Tx(a3) * Rx(alpha3)

我们需要解出三个关节角度的多重解，可以使用迭代法求解。具体来说，我们可以先假设关节1的角度为0，然后根据正运动学计算出末端执行器的位置和姿态，再计算关节2和关节3的角度，最后检查计算得到的末端执行器位置和姿态是否与题目中给出的T_endtobase矩阵相同。如果相同，则将这组解保存下来。

接下来，我们可以改变假设的关节1的角度，重复上述过程，直到覆盖所有可能的解。具体的实现方式可以参考下面的MATLAB代码：

function [theta1_set, theta2_set, theta3_set] = inverse_kinematics(T_endtobase, l1, l2, l3)
% T_endtobase: 末端执行器相对基座标系的齐次变换矩阵
% l1, l2, l3: 三个连杆的长度

% 初始化结果
theta1_set = [];
theta2_set = [];
theta3_set = [];

% 假设关节1的角度为0
theta1 = 0;
% 遍历关节1的可能角度
while theta1 <= 2*pi
    % 计算关节1的正运动学
    T1 = dh_transform(0, l1, 0, theta1);
    % 假设关节2的角度为0
    theta2 = 0;
    % 遍历关节2的可能角度
    while theta2 <= 2*pi
        % 计算关节2的正运动学
        T2 = dh_transform(0, l2, 0, theta2);
        % 假设关节3的角度为0
        theta3 = 0;
        % 遍历关节3的可能角度
        while theta3 <= 2*pi
            % 计算关节3的正运动学
            T3 = dh_transform(0, l3, 0, theta3);
            % 计算末端执行器的正运动学
            T = T1 * T2 * T3;
            % 检查计算得到的末端执行器位置和姿态是否与题目中给出的相同
            if norm(T - T_endtobase) < 1e-6
                % 如果相同，则保存这组解
                theta1_set = [theta1_set, theta1];
                theta2_set = [theta2_set, theta2];
                theta3_set = [theta3_set, theta3];
            end
            % 增加关节3的角度
            theta3 = theta3 + pi/180;
        end
        % 增加关节2的角度
        theta2 = theta2 + pi/180;
    end
    % 增加关节1的角度
    theta1 = theta1 + pi/180;
end
end

function T = dh_transform(alpha, a, d, theta)
% 根据DH参数计算变换矩阵
T = [cos(theta), -sin(theta)*cos(alpha), sin(theta)*sin(alpha), a*cos(theta);
     sin(theta), cos(theta)*cos(alpha), -cos(theta)*sin(alpha), a*sin(theta);
     0, sin(alpha), cos(alpha), d;
     0, 0, 0, 1];
end

使用以上代码，我们可以得到所有可能的解。这里需要注意的是，由于我们使用的是迭代法，解的精度取决于步长大小。如果步长过大，可能会漏掉一些解；如果步长过小，计算时间可能会很长。在实际应用中，需要根据具体情况调整步长大小。